Solución a sucesión estancada

Olimpiada Matemática Internacional 2017, problema 1.
Se dirige a una edad de: 16/17

Para cada entero a0 > 1, se define la sucesión a0, a1, a2, … tal que para cada n ≥ 0: an + 1 = √(an), siempre que √(an) sea entero, mientras que an + 1 = an + 3 en cualquier otro caso.

Determinar todos los valores de a0 para los que existe un número A tal que an = A para infinitos valores de n.

Continue reading Solución a sucesión estancada

Sucesión estancada

Olimpiada Matemática Internacional 2017, problema 1.
Se dirige a una edad de: 16/17

Para cada entero a0 > 1, se define la sucesión a0, a1, a2, … tal que para cada n ≥ 0: an + 1 = √(an), siempre que √(an) sea entero, mientras que an + 1 = an + 3 en cualquier otro caso.

Determinar todos los valores de a0 para los que existe un número A tal que an = A para infinitos valores de n.

Solución: Aquí

Solución a pesos al azar

Canguro Matemático 2017. Nivel 5 (1º Bachillerato), problema 28.
Se dirige a una edad de: 16/17

En una balanza se colocan al azar tres pesos en cada platillo, que queda desequilibrada. La figura muestra lo que sucede. Los pesos eran de 101, 102, 103, 104, 105 y 106 gramos.

¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 106 gramos esté en el platillo que pesa más?


Continue reading Solución a pesos al azar

Pesos al azar

Canguro Matemático 2017. Nivel 5 (1º Bachillerato), problema 28.
Se dirige a una edad de: 16/17

En una balanza se colocan al azar tres pesos en cada platillo, que queda desequilibrada. La figura muestra lo que sucede. Los pesos eran de 101, 102, 103, 104, 105 y 106 gramos.

¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 106 gramos esté en el platillo que pesa más?

Solución: Aquí

Solución a cinco circunferencias

Fase Comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana 2016, nivel B
Se dirige a una edad de: 15/16

En el dibujo, podemos ver cinco circunferencias, una más grande que contiene a las otras, dos medianas y dos más pequeñas. Todas son tangentes a tres o cuatro de las otras.

Sabemos que el radio de las circunferencias medianas mide 1 metro. ¿Cuánto mide el radio de las pequeñas?

Continue reading Solución a cinco circunferencias

Cinco circunferencias

Fase Comarcal de la Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana 2016, nivel B
Se dirige a una edad de: 15/16

En el dibujo, podemos ver cinco circunferencias, una más grande que contiene a las otras, dos medianas y dos más pequeñas. Todas son tangentes a tres o cuatro de las otras.

Sabemos que el radio de las circunferencias medianas mide 1 metro. ¿Cuánto mide el radio de las pequeñas?

Solución: Aquí

Solución a la consultora grande

Reto de selección para el Mathcamp 2017
Se dirige a una edad de: 13-18
Autor: Bill Kuszmaul

La doctora Grande es una consultora matemática que se especializa en números grandes. Inicia su negocio con una lista de 100 clientes ordenados en orden de importancia (el 1 es el más importante). Cada día, Grande tiene tiempo de visitar sólo a uno de sus clientes.

Un cliente se siente insatisfecho si Grande aún no le ha visitado, o si Grande ha visitado a alguien menos importante desde la última vez que le visitó. Cada día, Grande visita al cliente más importante que se siente insatisfecho. El primer día, Grande visita al cliente 1, el segundo día, al cliente 2, el tercer día, al cliente 1, y así sucesivamente.

Cuando ninguno de los clientes se sienta insatisfecho, la doctora Grande podrá, por fin, retirarse.

(a) Prueba que la doctora Grande podrá retirarse, eventualmente, algún día.

(b) A lo largo de la carrera de la doctora Grande ¿cuántos días se despierta insatisfecho el cliente que ocupa la posición n-ésima de la lista?

(c) Describe de forma clara el conjunto de clientes que se despiertan insatisfechos en el n-ésimo día de la carrera de la doctora Grande.

Continue reading Solución a la consultora grande

La consultora grande

Reto de selección para el Mathcamp 2017
Se dirige a una edad de: 13-18
Autor: Bill Kuszmaul

La doctora Grande es una consultora matemática que se especializa en números grandes. Inicia su negocio con una lista de 100 clientes ordenados en orden de importancia (el 1 es el más importante). Cada día, Grande tiene tiempo de visitar sólo a uno de sus clientes.

Un cliente se siente insatisfecho si Grande aún no le ha visitado, o si Grande ha visitado a alguien menos importante desde la última vez que le visitó. Cada día, Grande visita al cliente más importante que se siente insatisfecho. El primer día, Grande visita al cliente 1, el segundo día, al cliente 2, el tercer día, al cliente 1, y así sucesivamente.

Cuando ninguno de los clientes se sienta insatisfecho, la doctora Grande podrá, por fin, retirarse.

(a) Prueba que la doctora Grande podrá retirarse, eventualmente, algún día.

(b) A lo largo de la carrera de la doctora Grande ¿cuántos días se despierta insatisfecho el cliente que ocupa la posición n-ésima de la lista?

(c) Describe de forma clara el conjunto de clientes que se despiertan insatisfechos en el n-ésimo día de la carrera de la doctora Grande.

Solución: Aquí