Solución a dos pirámides

Problema propuesto en la prueba PSAT de la Universidad de Princeton, en 1981
Se dirige a una edad de: 16/17

Disponemos de dos pirámides, cuyas caras laterales son todas triángulos equiláteros. Una es de base cuadrada y la otra, de base triangular.
¿Cuántas caras tiene el sólido que formamos si las unimos por una de las caras laterales?

Este problema tiene detrás una curiosa historia, de la que hablaremos cuando pongamos la solución.

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Clara Grima #ConCincoPreguntas

Estrenamos sección y lo hacemos a lo grande. Atención a las respuestas a nuestras cinco preguntas por parte de Clara Grima (@ClaraGrima), a la que agradecemos su disposición a participar y darnos esta nueva lección magistral.

¿Cuándo descubriste que te gustaban las Matemáticas?

Huy, desde siempre, creo. No sabría decirte pero recuerdo que di un gritito la primera vez que despejé una ‘x’ en una ecuación. Una lineal con una sola incógnita, claro.

¿Cómo recuerdas tu paso por la licenciatura o el grado en Matemáticas?

Lo primero que recuerdo fue un caudaloso baño de humildad. Llegué muy convencida de que era muy ‘lista’ y muy buena para las mates pero lo que ya había estudiado hasta entonces no eran matemáticas. Me levanté del fango tras los bofetones en los primeros parciales (las asignaturas eran anuales), me limpié las lágrimas y me dije: “Esto es mío”. Descubrí la belleza del razonamiento matemático. Ah, y aprendí a estudiar 🙂

¿Quién es tu matemático/matemática preferido/preferida?

Vaya pregunta difícil pero, va, me mojo: Sophie Germain y Paul Erdős.

¿Qué te gusta más de las Matemáticas?

La belleza de sus razonamientos, la lógica en sus deducciones. Me encantan las matemáticas puras, como me gusta la poesía, son como una orfebrería que parte de objetos matemáticos y los convierte en joyas, sin más herramientas que la lógica. Pero es que luego el universo viene y te pide que expliques su comportamiento con esa poesía y todo es aún más maravilloso, todo es lírico. Me enamoro también descubriendo cómo, cada día más, la matemática aplicada nos facilita (o complica) la vida.

¿Dónde hablaste por primera vez en público sobre Matemáticas?

En Würzburg, en un congreso de Geometría Computacional. Me moría de miedo. De divulgación no recuerdo cuál fue mi primera charla, he dado infinitas 🙂

Dos pirámides

Problema propuesto en la prueba PSAT de la Universidad de Princeton, en 1981
Se dirige a una edad de: 16/17

Disponemos de dos pirámides, cuyas caras laterales son todas triángulos equiláteros. Una es de base cuadrada y la otra, de base triangular.
¿Cuántas caras tiene el sólido que formamos si las unimos por una de las caras laterales?

Este problema tiene detrás una curiosa historia, de la que hablaremos cuando pongamos la solución.

Solución a ecuaciones con y sin

Torneo de las ciudades, 2016 (Primavera, nivel A junior)
Se dirige a una edad de: 12/15

a) ¿Existen enteros a y b de forma que la ecuación x2 + ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuación [x2] + ax + b = 0 sí que tiene al menos una solución real?

b) ¿Existen enteros a y b de forma que la ecuación x2 + 2ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuación [x2] + 2ax + b = 0 sí que tiene al menos una solución real?

(La función [k] denota la parte entera de k, es decir, el entero más grande que está por debajo de k.)

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Ecuaciones con y sin

Torneo de las ciudades, 2016 (Primavera, nivel A junior)
Se dirige a una edad de: 12/15

a) ¿Existen enteros a y b de forma que la ecuación x2 + ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuación [x2] + ax + b = 0 sí que tiene al menos una solución real?

b) ¿Existen enteros a y b de forma que la ecuación x2 + 2ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuación [x2] + 2ax + b = 0 sí que tiene al menos una solución real?

(La función [k] denota la parte entera de k, es decir, el entero más grande que está por debajo de k.)

Solución a sucesión estancada

Olimpiada Matemática Internacional 2017, problema 1.
Se dirige a una edad de: 16/17

Para cada entero a0 > 1, se define la sucesión a0, a1, a2, … tal que para cada n ≥ 0: an + 1 = √(an), siempre que √(an) sea entero, mientras que an + 1 = an + 3 en cualquier otro caso.

Determinar todos los valores de a0 para los que existe un número A tal que an = A para infinitos valores de n.

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Sucesión estancada

Olimpiada Matemática Internacional 2017, problema 1.
Se dirige a una edad de: 16/17

Para cada entero a0 > 1, se define la sucesión a0, a1, a2, … tal que para cada n ≥ 0: an + 1 = √(an), siempre que √(an) sea entero, mientras que an + 1 = an + 3 en cualquier otro caso.

Determinar todos los valores de a0 para los que existe un número A tal que an = A para infinitos valores de n.

Solución: Aquí

Solución a pesos al azar

Canguro Matemático 2017. Nivel 5 (1º Bachillerato), problema 28.
Se dirige a una edad de: 16/17

En una balanza se colocan al azar tres pesos en cada platillo, que queda desequilibrada. La figura muestra lo que sucede. Los pesos eran de 101, 102, 103, 104, 105 y 106 gramos.

¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 106 gramos esté en el platillo que pesa más?


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