• Teoría: grafos ponderados.
• Práctica: cómo hallar la matriz de accesibilidad sin warshall.

Grafos Ponderados

Un grafo simple diremos que es un grafo ponderado si tiene asociado una función W: A→R llamada función de ponderación. La imagen de cada arista determinada por los vértices vi y vj la llamaremos peso de la arista y lo denotaremos por wij.

Para un grafo ponderado finito, llamaremos matriz de peso del grafo a la siguiente matriz nxn.

W=[aij]/aij= wij si (vi,vj) pertenece  a A

∞ si (vi,vj) no pertenece a A

Ejemplo de grafo ponderado:

En un grafo ponderado llamamos peso de un camino a la suma de los pesos de las aristas que lo forman.

En un grafo ponderado llamamos camino más corto entre dos vértcies dados al camino de peso mínimo entre dichos vértices.

En un grafo ponderado llamaremos camino más largo o camino crítico entre dos vértices dados al camino de peso máximo entre dichos vértices.

Caminos más cortos

Para hallar los caminos más cortos de un grafo ponderado con el menor peso posible se ha de suponerque el grafo es dirigido y que los pesos asociados a los arcos son todos no negativos. Supondremos además que los vértices del grafo están numerados de 1 a n, de tal forma que el conjunto de vértices lo denotaremos por V= {v1,v2,…,vn}. Con esta notación, wij representará el peso del arco (vi,vj). Por último supondremoos que el vértice v1 es el origen de los caminos. Además, uj denotará el peso del camino más corto de v1 a vj.

Así tenemos que en un camino de 1 a 3 pasando por 2, podemos considerar que hay a su vez caminos más cortos de sus distintas secciones, siendo una sección el camino de 1 a 2 y otra el camino de 2 a 3.

Caminos críticos

El camino crítico es un camino de mayor longitud de S a T. La longitud de este camino se llama la hora de finalización más temprana. El método del camino crítico es un algoritmo para encontrar un camino crítico que se basa en la búsqueda de la longitud de la trayectoria más larga de la S a cada vértice intentando obtener el menor número de hora para realizar cierta actividad que empieza en S y termina T.

Prácticas – MaGraDa

Hoy hemos visto un un poco más el método de Warshall para hallar la matriz de accesibilidad a partir de la matriz de adyacencia. Además, hemos aprovechado la clase para ponerlo más en práctica realizando diferentes ejercicios sobre matrices de acceso y de accesibilidad.

Felices fiestas!

• Teoría: hemos visto el cálculo de componentes conexas, los teoremas de Euler sobre aristas y los teoremas de Hamilton sobe vértices.
• Prácticas (MaGraDa): hemos visto que facilidades presenta MaGraDa a la hora de realizar grafos y matrices.
  

TEORÍA

Recordatorio:

Matriz de accesibilidad (R):

En la matriz se pondrá:

-1 si xi alcanza a xj.

-0 en otro caso.

Matriz de acceso (RT = Q): tenemos que la matriz de acceso es la matriz traspuesta de la matriz de accesibilidad.

-1 si xi  es alcanzable desde xj.

-0 en otro caso.

En el caso de un grafo no dirigido la matriz de acceso es la misma matriz de accesibilidad.

Cálculo de las componentes conexas

Para el cálculo de las componentes conexas de un grafo nos encontramos con dos métodos.

1. Con el primer método nos ayudaremos de las matrices de accesibilidad y de acceso del grafo.
2. El segundo método tratará de realizar el producto de las matrices de acceso y de accesibilidad del grafo de manera que se estudiará como ver las componentes conexas en el resultado del producto nombrado.

Primer método:

Con la siguiente matriz de accesibilidad, para un grafo G dirigido, hallamos la matriz de acceso haciendo la traspuesta.

A partir del conjunto de vértices V={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} se elige uno de ellos y se realiza R(v)∩ Q(v) del que se obtendría los vértices a los que accede ’1′ y los que acceden a él: {1, 2, 4, 5}∩{1} = {1}. Dicho resultado es la primera componente conexa.

Después de hallar R(v)∩ Q(v) se resta al conjunto V el resultado de R(v)∩ Q(v) y obtendremos el conjunto de vértices V2.

V~R(v)∩ Q(v) = V2={2,3,4,5,6,7}

Con el conjunto obtenido elegimos  un vértice de dicho conjunto y realizamos el mismo proceso hasta que:

Vn~R(v)∩ Q(v)=Ø

Segundo método:

Para la siguiente matriz de accesibilidad (R), se ha de hacer la matriz de acceso (Q) al igual que en el método anterior haciendo la traspuesta de la matriz de accesibilidad, y , seguidamente, hacer el producto de ambas  RxQ.

Del resultado que obtengamos del producto RxQ tendremos que observar las filas de la matriz y fijarnos donde hay unos. Cada fila que esté compuesta por unos será una componente conexa, y los unos representan los vértices pertenecientes a esa componente. En el caso de que hubiera varias filas iguales no haría falta poner una componente conexa igual, ya que se trata de la misma información.

Euler: Caminos y Tours eulrianos (recorrido de aristas)

Conceptos:

• Tour: cadena cerrada que atraviesa cada arista del grafo G al menos una vez.

• Tour euleriano: cadena cerrada que atraviesa cada arista del grafo G exactamente una vez.

• Grafo euleriano: es aquel grafo G que contiene un tour euleriano.

• Camino euleriano: cadena simple que atraviesa cada arista de un grafo G exactamente una vez.

• Un grafo es euleriano si, y sólo si, no tiene vértices de grado impar.

• Un grafo contiene un camino euleriano si, y sólo si, tiene exactamente dos vértices de grado impar.

Para hallar si un grafo contiene un tour o un camino se ha de utilizar el algoritmo de Fleury.

Si el grafo es euleriano, a partir de un vértice cualquiera de G, construiremos una cadena simple de forma que no se repitan aristas y no se elijan aristas de corte (que dejen aislado a un vértice). Al finalizar este proceso, cuando hayamos agotado todas las aristas, habremos obtenido un tour euleriano.

Si el grafo contiene un camino comenzaremos con uno de los vértices de grado impar, siguiendo el mismo proceso descrito pero terminando la cadena con el otro vértice impar como vértice final.

Grafo con Tour euleriano:

Tour: e3 , e4 , e10, e9 , e7, e1 , e5 , 68 , e6 , e2.

Hamilton:  Caminos y Ciclos hamiltonianos (recorrido de vértices)

Conceptos:

• Un camino hamiltoniano en un grafo G es un camino que atraviesa cada vértice del grafo exactamente una vez.

• Un ciclo hamiltoniano en un grafo G es un ciclo que atraviesa cada vértice del grafo exactamente una vez. Recordemos que un ciclo es una cadena simple cerrada con todos sus vértices internos distintos.

• Un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano.

Aún no se ha determinado ningún tipo de algoritmo que pueda hallar si un grafo es hamiltoniano o no. Pero si que existen algunas condiciones establecidas para una gran variedad de grafos.

• Regla 1: si G no es conexo, no posee ciclos hamiltonianos.
• Regla 2: si G es un grafo con n vértices, entonces un camino hamiltoniano debe tener exactamente n-1 aristas, y un ciclo hamiltoniano n aristas.
• Regla 3: si v es una vértice del grafo, entonces un camino hamiltoniano debe tener al menos una arista incidente con v y como mucho dos.
• Regla 4: si G es hamiltoniano, entonces del grado de v debe ser mayor o igual que 2.
• Regla 5: si v tiene grado 2, entonces las dos aristas incidentes con v deben aparecer en cualquier ciclo hamiltoniano de G.
• Regla 6: si v tiene grado mayor que 2, en un ciclo hamiltoniano, una vez que ese vértice ya haya sido utilizado, la aristas no utilizadas incidentes con v se dejan de tener en cuenta.
• Regla 7: al construir un ciclo o camino hamiltoniano para un grafo G, no se puede dar el caso de obtener un ciclo para un subgrafo de G a menos que contenga todos los vértices de G.

Para un grafo G bipartido con partición {X,Y}:

• Si G tiene un ciclo hamiltoniano, entonces card(X)=card(Y).
• Si G tiene un camino hamiltoniano, entonces card(x) y card(Y) se diferencian como mucho en 1.

PRÁCTICA

Hemos visto los cálculos básicos que se pueden realizar con MaGraDa. Dichos cálculos son:

• Grado: nos diŕa el grado del vértice que toquemos si nos encontramos en el modo gráfico o nos mostrará una gráfica con los grado de cada uno de los vértices si nos encontramos en el modo texto.
• Ver (aristas o arcos): para el modo texto, ya que no se ven ni aristas ni arcos, tenemos esta opción, que nos mostrará una pantalla donde pondrá las aristas (arcos) que van de un vértice a otro.
• Grafo (simple, cíclico, completo y conexo): tanto en modo texto como en modo gráfico podemos comprobar si un grafo es simple, cíclico, completo y conexo. En cualquiera de las opciones anteriores, nos indicará si lo es o no con una explicación.
• Grafo no dirigido asociado: esta opción, si estamos con un grafo dirigido nos creará un grafo con las mismas propiedades pero no dirigido, es decir, se cambian arcos por aristas.

Hasta la semana que viene

• Teoría: representación de grafos y accesibilidad.
• Práctica: comienzo con el programa Magrada.

TEORÍA

Representación Matricial

Llamamos matriz adyacente a la matriz de orden n x n. A={aij} tal que aij es igual al número de aristas (arcos) del vértice vi al vj.

Propiedades de la matriz de adyacencia:

Para un grafo no dirigido con matriz de adyacencia A, la suma de los elementos de la fila i (o columna i) es igual al grado del vértice vi.

Para un grafo dirigido con matriz de adyacencia A, la suma de los elementos de la fila i es igual al grado de salida del vértice vi y la suma de los elementos de la columna j es igual al grado de entrada del vértice j.

• Para un grafo con matriz de adyacencia A el elemento (i,j) de la matriz Ar, de donde r debe ser r>=1, es igual al número de cadenas de vi a vj de longitud r.

Llamamos matriz de incidencia de un grafo no dirigido a la matriz de orden n x m.

M=[mij]/mij= 0 si vi no es incidente con aj

1 si vi es incidente con aj

2 si aj es un bucle en vi

Para un grafo dirigido.

B=[bij]/bij= 0 si vi no es incidente con aj

1 si vi es vértice inicial de aj

-1 si vi es vértice final de aj

2 si aj es un bucle en vi

Propiedades de la matriz de incidencia:

• Para un grafo no dirigido, la suma de los elementos de cada fila de la matriz de incidencia es igual al grado del correspondiente vértice.
• Para un grafo no dirigido, la suma de los elementos de cada columna de la matriz de incidencia es igual a 2.
• Para un grafo dirigido sin bucles, la suma de los elementos de cada columna de la matriz de incidencia es igual a 0.

Tablas:

Para un grafo no dirigido, llamaremos tabla de aristas incidentes a una tabla que lista, para cada vértice v, todas las aristas incidentes con v.

Para un grafo dirigido, llamaremos tablas de arcos salientes a una tabla que lista, para cada vértice v, todos los arcos salientes de v. Llamaremos tabla de arcos entrantes a una tabla que lista, para cada vértice v, todos los arcos entrantes en v.

TEMA 6

Accesibilidad

Para un conjunto de vétices V, vj es alcanzable desde vi o vi alcanza a vj si existe un camino dirigidode vi a vj.

Llamaremos matriz de accesibilidad asociada al grafo G a la matriz cuadrada de orden n definida por:

R=[rij]/rij= 1 si vi alcanza a vj

0 en otro caso

Llamaremos matriz de acceso asociada al grafo G a la matriz cuadrada de orden n definifa por:

Q=[qij]/qij= 1 si vi es alcanzable desde vj

0 en otro caso

de donde Q=Rt   , es decir, que la matriz de acceso de R es su traspuesta Rt

PRÁCTICA

Magrada

En clase de prácticas hemos terminado prolog para empezar con Magrada. Magrada es un programa que nos va a servir para hacer grafos y saber de que tipo son y que características tienen.

Hasta la semana que viene

MATEMÁTICA DISCRETA

Hay que recordar de la anterior sesión alguna definiciones como:

• d g (V): número de aristas incidentes con un vértice. Cada bucle cuenta por dos.
• Γ(V): conjunto de vértices adyacentes a V.

TEOREMA:

1. Sea G=(V, A) un grafo dirigido, entonces:

Σ ds(v)= Σ de(v)= card (A)  -> ( cardinal: número de elementos que tiene un conjunto )

2. Sea G=(V, A) un grafo dirigido o no, entonces:

Σ dg(v)=2 card (A)

Corolario: el número de vértices de grado impar de un grado es par.

Definiciones:

• Una cadena es una sucesión finita W=v0e1v1…….ekvk cuyos términos son alternativamente vértices y aristas.
• La longitud de una cadena es el número de aristas que contiene.
• Una cadena simple es una cadena con todas sus aristas distintas.
• Un camino es una cadena con todos sis vértices distintos.
• Una cadena cerrada es una cadena de longitud no nula en donde el vértice inicial y final coinciden.
• Un ciclo es una cadena simple cerrada con todos sus vértices internos distintos.
• Un grafo es bipartido si no tiene ningún ciclo impar.

En el grafo anterior:

Cadena: C1=v1 e1 v2 e2 v3 e3 v5 e6 v2           Esta cadena es simple con una longitud de 4.

Cadena: C2=v2 e6 v5 e7 v4 e4 v2 e1 v1 e1 v2  Esta cadena es cerrada.

Cadena: C3=v1 e1 v2 e2 v3 e3 v5                      Esta cadena es un camino.

Cadena: C4=v2 e4 v4 e7 v5 e3 v3 e2 v2           Esta cadena es un ciclo par(longitud de 4).

Estos conceptos son los mismos para grafos dirigidos salvo que las direcciones de los arcos deben concordar con la dirección del camino o cadena. En el caso dirigido el ciclo recibe el nombre de circuito.

• Diremos que dos vértices u y v están conectados si existe un camino de u a v y viceversa.
• Un grafo es conexo si todo par de vértices están conectados.
• Un grafo dirigido es débilmente conexo si su grafo no dirigido asociado es conexo.

La relación de conexión es de equivalencia y por tanto determina una partición en el conjunto de vértices. A los elementos de dicha partición se les denomina componentes conexas del grafo. Un grafo es conexo si y sólo si el número de componentes conexas es 1.

EQUIVALENCIA:

Conexión:

u → v

Transitiva:

u → v

v → t

u → t

Reflexión:

u R u

Simétrica:

u R v

v R u

Hasta la semana que viene

• Teoría: hemos visto los distintos tipos de grafos.
• Práctica: el juego de prolog está casi terminado.

TEORÍA

Tipos de grafos:

• Llamamos grafo no dirigido asociado a un grafo con el mismo conjunto de vértices y en el que se han ignorado las direcciones de los arcos.
• Un grafo mixto es aquel que contiene tanto arcos como aristas.

  

• Un grafo simple es un grafo sin bucles en el que no hay dos aristas que unan el mismo par de vértices. Si el grado es dirigido diremos que es simple si no tiene bucles y no hay dos arcos uniendo el mismo par de vértices y con la misma dirección.
• Si un grafo no es simple se llama multigrafo.

  

• Un grafo no dirigido (dirigido) se dice que es completo si hay al menos una arista (arco) uniendo cada par de vértices distintos. Denominamos por Kn al grafo completo no dirigido y simple.

  

• Un grafo no dirigido es bipartido si existe una partición {X,Y} del conjunto de vértices de forma que toda arista tiene un extremo en X y otro en Y. Un grafo dirigido es bipartido si lo es su grafo no dirigido asociado.

  

• Km,n es un grafo no dirigido bipartido completo y simple con card(V1)=m , card(V2)=n.

  

• Subgrafo: cuando un grafo está contenido en otro.
• Cuando el número de vértices coincide, un grafo es generador de otro.

dg(V): número de aristas incidentes con el vértice(el número de aristas que lo tienen como extremo). Cada bucle se cuenta dos veces.

• Teoría: hemos terminado el apartado de lógica con una buena explicación de la deducción natural y hemos comenzado el primer tema de Matemática Discreta (tema 5).
• Práctica: ya vamos por la fase 6 del juego de prolog, comenzamos a utilizar bucles.

Para saber más:

TEORÍA

Deducción natural: a partir de unas premisas y una conclusión había que averiguar si esa conclusión era cierta. Esto se deducía haciendo suposiciones y utilizando las reglas de inferencia.

Reglas de Inferencia utilizadas en los ejemplos siguientes:

Ejemplos:

• PRIMERO

Premisas: ja → v , v→ma Conclusión: ja →ma

-1 ja → v

-2 v →ma

3 ja Suponemos que ja es cierta

4 v De lo anterior se deduce v , se utiliza la regla MP en las proposiciones 1 y 3

5 ma MP de 2,4

6 ja →ma Se hace la TD de 3-5

De 3 a 5, hay una subdeducción que debe ir en un corchete, yo la he puesto en negrita.

• SEGUNDO

Premisas: at→ so v in, in →¬ju   Conclusión: at→ (¬so→ ¬ju)

-1 at→ so v in

-2 in →¬ju

3 at

4 ¬so

5 so v in   MP 1,3

6 in           SD 4,5

7 ¬ju        MP 2,6

8 ¬so→ ¬ju      TD 4,7

9 at→ (¬so→ ¬ju)

• TERCERO (Aquí se utiliza la reducción al absurdo)

Premisas: A → C ^P , V, P → ¬V     Conclusión:   ¬A

Consiste en comenzar la deducción suponiendo como cierto lo contrario de la conclusión, en este caso: A

-1 A → C ^P

-2 V

-3 P → ¬V

4  A

5 C ^P        MP 1,4

6 P               EC 5

7 ¬V            MP 3,6

8 V^¬V     IC 2,7

9 ¬A             IN (Abs) 4-8

TEMA 5 (Matemática Discreta) GRAFOS

Un grafo es una estructura discreta formada por vértices y aristas.

Suelen haber dos tipos de grafos:

• Grafo No dirigido G: es un par (V, A), en el que V es un conjunto cuyos elementos llamaremos vértices, y A una familia de pares no ordenados de vértices, que llamaremos aristas.
• Grafo Dirigido G: es un par (V, A), en el que V es un conjunto cuyos elementos llamaremos vértices, y A una familia de pares ordenados de vértices, que llamaremos arcos.

Conceptos Básicos:

• Los extremos de una arista (arco) se dice que son incidentes con la arista (arco).
• Dos vértices incidentes con una misma arista (arco) se dicen adyacentes.
• Un bucle es una arista (o arco) cuyos extremos son el mismo vértice.

Ejemplo de Grafos

El primer grafo es no dirigido ya que no importa el orden de los vértices.

El segundo grafo es dirigido, puesto que los vértices están ordenados, y tienen una dirección establecida.

Grafo No Dirigido (Representación matemática):

G (V, A) ;

V= {1,2,3,4};

A={ e1= {1,2},{2,1}    e2={2,3},{3,2}

e3={3,4},{4,3}    e4={1,3},{3,1}    }

Grafo Dirigido (Representación matemática):

G (V, A) ;

V= {1,2,3,4};

A={ e1= {1,2}    e2={2,3}

e3={3,2}    e4={3,4}    e5={1,3}    }

PRÁCTICA

Hoy hemos empezado a hacer bucles en la fase 6 del juego “Aquí no hay quien estudie…….Mates1″.

Simplemente se trata de poner dentro de un predicado el predicado repeat.

REPEAT lo que hace es repetir una cantidad de objetivos si uno de ellos fracasa hasta que se cumplan todos.

Si al final de los objetivos ponemos, además, FAIL entonces lo que ocurrirá es que se repetirá continuamente una y otra vez. Si sucede esto, se puede utilizar la combinación de teclado ctrl + C para pararlo.

Hasta la semana que viene

• Teoría: vimos unos ejemplos de la forma clausal (ya descrito en la entrada anterior) y la deducción natural mediante la cual se deducirá si un razonamiento es correcto o no.

Demostración Por Deducción Natural

Se trata de demostrar la validez de un razonamiento, es decir de comprobar que una conclusión Q se obtiene de un conjunto de premisas Pi mediante la aplicación de un conjunto de reglas de inferencia. El proceso deductivo será el de la deducción natural que realiza demostraciones mediante la manipulación de fórmula sin tener en cuenta los valores de verdad de las mismas.

Subdeducciones:

Uno de los aspectos cruciales de la deducción natural son las subdeducciones. En cualquier paso de nuestra deducción podemos introducir un supuesto provisional que debe ser cancelado en alguna línea posterior. Desde el supuesto hasta la cancelación tendremos una subdeducción. Para poder finalizar una demostración deberemos haber cancelado todos los supuestos que hayamos hecho.

Componentes de una deducción:

En una deducción tenemos una secuencia finita de fórmulas tales que cada una de ellas puede ser:

• Supuesto inicial o premisa.
• Supuesto provisional.
• Una fórmula que se deriva lógicamente de otra por inferencia inmediata.

1. Supuestos iniciales o premisas: son fórmulas que se consideran hipotéticamente dadas desde el principio de la deducción.
2. Subdeducciones: son líneas que se introducen provisionalmente y deberán ser canceladas antes del establecimiento de la conclusión.
3. Líneas que proceden de otra anterior por aplicación de una regla de inferencia: a estas líneas las llamamos consecuencias lógicas inmediatas de otras anteriores.

Reglas de inferencia:

Hay 8 reglas, dos para cada conectiva y 4 para el Cálculo de Predicados. Sólo pondré algunas como ejemplo.

• Regla de Eliminación del Implicador: supuesta una cierta implicación y la fórmula que hace en ella de antecedente, se puede afirmar el consecuente.

A→B

A

_______

B

• Regla de Introducción del Conjuntor: si se afirma una proposición y luego otra, se puede afirmar la conjunción de ambas.

A

B

_______

A Λ B

• Regla de Introducción del Disyuntor: si una fórmula es verdadera, también es verdadera si le añadimos con disyunción otra fórmula, tanto si es atómica como molecular.

A                                 B

_______                   ________

A v B                         A v B

Demostración por el método directo:

Se utiliza para demostrar la verdad de una fórmula condicional. Para ello se asume que es cierto el antecedente. El método se aplica cuando se quiere deducir una fórmula condicional X → Y. Proceso deductivo del método directo:

1. Se añade a las líneas de deducción una premisa auxiliar que será la fórmula X.
2. Esta premisa X abre una subdeducción dentro de la deducción en la que se encuentra.
3. A partir de ella se construye una argumentación en la cual podemos utilizar fórmulas anteriores que aparezcan en la deducción y reglas de inferencia hasta obtener la fórmula Y.
4. En este punto se concluye la prueba y queda establecida la validez de X → Y.

Demostración por el método de reducción al absurdo:

En una demostración aparece una contradicción cuando se deduce una fórmula y su negada. El método de reducción al absurdo se fundamenta en la estrategia que consiste en suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a partir de esta hipótesis, se trata de generar una contradicción. Si aparece dicha contradicción, es que la suposición es errónea.

Y ya está, hasta la semana que viene…

Introducción:

Teoría: hemos dado el estudio de la validez de un razonamiento a partir del conjunto de fórmulas que lo conforman. Para ello, se utiliza la regla de resolución de Robinson y la forma clausal de una fórmula.

Práctica: hoy hemos aprendido a utilizar predicados dinámicos y a utilizar el implicador (condicional), además de ver algunos ejemplos de todo ello.

Teoría:

Para empezar voy a definir qué es un fórmula satisfacible e insatisfacible.

• Fórmula satisfacible: una fórmula lógica es satisfacible si existe alguna interpretación que la hace verdadera.
• Fórmula insatisfacible: una fórmula lógica es insatisfacible si y sólo si es falsa para todas sus interpretaciones.
• Conjunto de fórmulas satisfacible: si existe una interpretación que es un modelo para todas las fórmlas del conjunto.
• Conjunto de fórmulas insatisfacible: si no existe ninguna interpretación que sea modelo (que haga verdadero el conjunto) para todas las fórmulas del conjunto .

Para estudiar si un razonamiento es o no correcto hay que averiguar si en conjunto de fórmulas es insatisfacible. Si lo es, entonces el razonamiento es correcto. Para deducir si el conjunto de fórmulas es insatisfacible hay que aplicar la regla de resolución, aunque, antes, hay que obtener la forma clausal de las premisas y de la negación de la conclusión.

FORMA CLAUSAL

Consiste en transformar fórmulas en otras fórmulas más simples de evaluar. Dichas fórmulas se caracterizan por la inexistencia del implicador. Una fórmula está escrita en forma clausal si dicha fórmula está representada por su conjunto de cláusulas.

• Cláusula: disyunción de literales.
• Literales: fórmula atómica afirmada o negada.
• Cláusula vacía: cláusula sin literales. Se representa por [] y su valor es siempre contradicción.

Para obtener la forma clausal de una fórmula hay que:

• Eliminar implicadores y coimplicadores mediante la aplicación de la regla:

A–>B =  ¬AvB

• Normalizar negadores:

Leyes de Morgan: ¬(A v B) = ¬A ^ ¬B; ¬(A^B) = ¬A v ¬B.

• En fórmulas cuantificadas, en dos cuantificadores no deben coincidir los nombres de las variables.
• Eliminar los cuantificadores exitenciales.
• Poner los cuantificadores universales a la cabeza de la fórmula.
• Aplicar la regla distributiva:

A v (B ^C) = (A v B) ^ (A v C)

• Pueden coincidir constantes pero no las variables.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE ROBINSON

La regla de resolución para una fórmula proposicional obtiene una nueva cláusula C3 a partir de otras dos, C1 y C2. Esta nueva cláusula es llamada resolvente de C1 y C2. Para hallar C3, C1 debe contener un literal L y C2 un literal ¬L. La cláusula C3 será la disyunción de todos los literales de C1 y de C2 menos los literales L y ¬L.

Ejemplos:

P y ¬P v Q   C3=Q

P v Q y ¬P v Q   C3=Q

P v Q y ¬P v ¬Q   C3=Q v ¬Q ; P v ¬P (dos posibilidades)

¬P y P   C3=nada

P v Q y ¬P v R   C3=Q v R

Con todo esto, a partir de un conjunto de cláusulas C, si la cláusula resolvente es la cláusula vacía, C es insstisfacible, por tanto el razonamiento es correcto. Si no se encuentran cláusulas resolventes, C no es insatisfacible.

Práctica:

PREDICADOS DINÁMICOS

Definiré que son los predicados dinámicos:

• Predicado dinámico: aquel que nos permite añadir cláusulas durante la ejecución del programa.

Para declarar un predicado dinámico:

Ejemplo: “:- dynamic mensaje_guardado/1.” esto es :- dynamic predicado/nº de argumentos.

Luego tenemos varios predicados dinámicos:

• assert : para añadir nuevos hechos.
• retract : para eliminar hechos. —–> retract(hecho(_)) : cuando dentro del paréntesis ponemos barra baja, elimina el primer hecho que encuentre.
• retractall : para borrar todos los hechos.
• listing: para ver las cláusulas del programa.

OPERADOR   ->

Este operador “->” es un condicional. Por ejemplo a->c , es lo mismo que decir si ocurre a entonces c. Para a->c;e , significa si ocurre a entonces c, si no, e.

Aunque el condicional fallé, muchas veces se quiere que la regla tenga éxito por lo que se suele poner “true/” después de “;” .

Hasta otra!

Resumen:

• Clase de teoría: hoy hemos visto de manera más desarrollada la demostración de razonamientos. Para ello, hemos visto en más profundidad las tablas de verdad, el método de contraejemplo y los tipos de interpretaciones.

• Clase práctica: seguimos desarrollando el juego “Aquí no hay quien estudie… Mates1″ terminando la fase 3 del juego.

Desarrollo:

• Interpretación y tipos de interpretaciones.
• Clasificación de una fórmula atómica.
• Consecuencia lógica.
• Tablas de verdad y contraejemplo.

Interpretación

Una interpretación es una función que asigna un valor de verdad a una proposición a partit de los significados de sus fórmulas.

Hay dos tipos de interpretaciones:

• Interpretación modelo: una interpretación de una fórmula bien formada es modelo si bajo esta interpretación la fórmula se interpreta como verdadera.
• Interpretación contramodelo o contraejemplo: una interpretación es contramodelo si bajo esta interpretación la fórmula se interpreta como falsa.

Fórmulas atómicas

• Tautología: cuando la fórmula es verdadera para toda interpretación.
• Contradicción: cuando la fórmula no es verdadera bajo ninguna interpretación.
• Contingencia: cuando existe al menos una interpretación que hace que la fórmula se interprete como verdadera y al menos otra interpretación que la haga falsa.

Consecuencia lógica

Es la relación entre las premisas y la conclusión de un argumento deductivamente correcto. Una conclusión es una consecuencia lógica de las premisas cuando no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, o cuando todo modelo de las premisas es también un modelo de la conclusión.

Métodos de las tablas de verdad

Una tabla de verdad es una tabla que muestra el valor semántico de una fbf molecular para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Para hacer una tabla de verdad se crea un cuadro de doble entrada que tendrá tantas filas como interpretaciones disponga la fórmula. Se pone una columna por cada variable que aparezca en la fbf.

Método de contraejemplo

Un contraejemplo es un ejemplo que prueba la falsedad de un enunciado. Un contraejemplo para un razonamiento es la existencia de una interpretación que asigne valores verdaderos a las premisas y falso a la conclusión.

Para comprobar la existencia de un contraejemplo en la resolución de un problema se supone la existencia de dicha interpretación en el problema y se estudia el comportamiento de cada una de las fórmulas del argumento, buscando posibles contradicciones.

Y ya está, hasta la semana que viene

Cada vez más materia, cada vez más difícil…. Allá vamos!

Hoy:

• Teoría: hemos terminado de ver  el cuantificador universal y el cuantificador existencial. Luego, hemos comenzado a aprender como demostrar la verdad de un razonamiento.
• Práctica: seguimos elaborando el juego “Aquí no hay quien estudie… Mates 1! y ya empezamos a relacionar hechos.

Para más información: desarrollo de la teoría y la práctica.

Teoría

Cuantificadores:

• Cuantificador universal   : significa que todos los sujetos x si verifican la propiedad P entonces verifican la propiedad Q.  Las expresiones que van acompañadas del cuantificador universal siempre llevan el implicador →.
• Cuantificador existencial E (en realidad es una E al revés): significa que existe algún sujeto x que verifica que el predicado P y que verifica también Q. Las expresiones que van acompañadas del cuantificador existencial siempre llevan la conjunción ^.

La negación de ¬ significa no todos.

La negación de ¬E significa ninguno.

Cuando tenemos una fórmula con uno de los dos cuantificadores y queremos cambiar uno de ellos por el otro tenemos que tener en cuenta las Leyes de Equivalencia:

A→B Ξ ¬(AνB) Ξ ¬A→¬B Ξ ¬(A^¬B)

Enunciado cuantificadores:

¬x P(x)  no todos los x tienen la propiedad P

Ex¬P(x)  hay algún x que no tiene la propiedad P

x¬P(x)  todos los x no tienen la propiedad P

¬ExP(x)  no existe ningún x que tenga la propiedad P

¬Ex¬P(x)  no hay ningún x que posea la propiedad no P

xP(x)  todos los x verifican P

¬x¬P(x)  no todos los x carecen de la propiedad P

ExP(x)  hay algún x que tiene la propiedad P

Demostración semántica de razonamientos:

La semántica de la lógica es la teoría que nos da reglas para hallar el valor de verdad de una fórmula.

Para hallar el valor de verdad de una fórmula hay que tener presente el principio de bivalencia: o todo es cierto(1) o todo es falso(0).

Y también tendremos que elaborar las tablas de verdad:

Práctica

Ahora empezamos a realizar conexiones entre el juego y el jugador, es decir, ya empezamos a poner órdenes pidiendo al jugador que quiere hacer, a dónde quiere ir, etc.

Para ello si le decimos: ‘¿que quieres hacer?’ y el jugador escribe algo, hay que hacer que el programa lea lo que ha escrito y si lo que ha escrito coincide con las acciones posibles, prolog dirá YES.

Para que almacene lo que el jugador introduce se utiliza:

read(x) ‘donde x puede ser una acción’.

Por ejemplo, hemos escrito:

%empieza: si escribes empieza, comenzará el juego

empieza:- write(‘¿Qué quieres hacer?’), read(accion).

%accion: acciones que se pueden realizar.

accion(accion1)

accion(accion2),etc.

Cuando escribas empieza escribirá ‘¿Qué quieres hacer?’ y esperará a que introduzcas algo. Si ese algo coincide con las acciones que has introducido, como ya he dicho, dirá YES.

YA!! no más materia hasta la semana que viene