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Bloque I: El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden. Clases Teóricas

Clase # 5


clase Nº 5, 6 de Noviembre de 2007, Horario: 15:00 – 17:00, Carlos Villagrá.

Hola, la clase del día de hoy ha estado dividida en dos partes, al principio tuvimos un espacio para aclarar dudas sobre los examinadores 1 y 2 del primer bloque y luego realizamos el control sobre el bloque 1 referente a LPO.

Ahora voy a hacer un recuento de lo que hasta ahora me ha parecido la asignatura.

En general este primer bloque considero ha sido un comienzo familiarizado con la asignatura para saber un poco sobre lo que trata, porque la primera impresión de la misma es que tiene alto grado de dificultad :p.

Lo que me ha parecido positivo de la asignatura es la organización de la misma, en cuanto a la metodología de enseñanza, y la cantidad de actividades para realizar, teniendo en cuenta la distribución del tiempo para su desarrollo, puesto que contamos con horas de clases para hacer bastantes ejercicios, incluyendo las pruebas lógicas, lo cual ayuda al aprendizaje y entendimiento de la misma.

A continuación enlazo el Primer Control realizado con la solución de Carlos
Control 1

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Bloque I: El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden. Clases Teóricas

Formas Normales del Cálculo Proposicional y Predicativo

clase Nº 4, 30 de Octubre de 2007, Horario: 15:00 – 17:00, Carlos Villagrá.

En esta clase, la temática vista fúe la normalización de fórmulas, es decir, la transformación de fórmulas lógicas en otras equivalentes que permiten trabajar de forma más fácil con ellas.

En general la normalización de fórmulas al principio me pareció dificil, sobre todo el concepto que define el proceso para reducir una fbf a Forma Normal de Prenex (Paso 3), y el proceso para introducir constantes y funciones Skolem del lenguaje predicativo. A medida que veiamos ejemplos en clase y realizabamos ejercicios se hacía más fácil memorizar los pasos a seguir en todo el proceso de normalización y podiamos ver que el proceso Prenex no es tan complicado como su concepto lo define, puesto que solo consiste en ubicar todos los cuantificadores universales en cabeza.

Lo más importante que hay que identificar en las fórmulas escritas en forma normal, es que solo tienen la conectivas conjunción, disyunción y negador, que el negador solo afecta a fórmulas atómicas y que en la Forma Normal Conjuntiva (FNC) la conectiva principal es la conjunción, mientras que en la Forma Normal Disyuntiva y Forma Clausual la conectiva principal la disyunción.



El método de reducción a forma normal es el siguiente:

1. Reducción de Constantes Lógicas: Eliminar implicadores y coimplicadores, por sus equivalentes, de manera que la fórmula sólo contenga conjuntores, disyuntores y/o negadores.

2. Normalización del Negador: Interiorizar los negadores de manera que queden adosado una fórmula atómica.

3. Exteriorización de Conjuntores o Disyuntores: Implica utilizar la propiedad distributiva de la siguiente manera

FNCfnc.jpg

FNDfnd.jpg

4. Simplificación y ordenación de resultados:
s1.jpgs2.jpg



Veamos el ejemplo que hicimos en clase:
(p ∧ q) v r → ¬q v ¬r

1º Definición del Implicador
¬[(p ∧ q) v r] v ¬q v ¬r

2º De Morgan
[¬(p ∧ q) ∧ ¬r] v ¬q v ¬r = [¬p v ¬q) ∧ ¬r] v ¬q v ¬r

3º Exteriorización de Conjuntores
(¬p ∧ ¬r) v (¬q ∧ ¬r) v ¬q v ¬r

4º Simplificando
(¬p v ¬q v ¬r) ∧ (¬r v ¬q) FNC


¿Y para el Calculo de Predicados?

El proceso es el mismo, solo que hay que quitar los cuatificadores.

Skolem quita el ∃xistencial reemplazandolo por una constante, por ejemplo:

∃x P(x) = P(a) / ∃x P(x) ∧ Q(x) = P(a) ∧ Q(a)

Si el existencial se encuentra en el alcance de un cuantificador universal, todas las ocurrencias de esta variable son reemplazadas por una función skolem, cuyos argumentos son las variables del cuantificador universal, por ejemplo:

∀x ∃y M(x,y) = ∀x ∃y M(x,f(x))

Prenex pasa los ∀nivesales a la cabeza de la fórmula, por ejemplo:

1. ∀x[Al(X) → T(x)]

5. ¬Al(x) v T(x)
7. C1: ¬Al(x) v T(x)

Basicamente en esto se ha basado toda la clase del día de hoy!!!.

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Bloque I: El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden. Clases Teóricas

Tema 3: El lenguaje de la lógica de predicados

clase Nº 2, 23 de Octubre de 2007, Horario: 15:00 – 17:00, Carlos Villagrá.

Hola.

Hoy hemos tenido nuestra tercera clase de lógica, hemos estudiado la lógica de predicados, la definición, la relación con la lógica de proposiciones, los componentes de sentencias predicativas y las reglas gramaticales para construir fbf. Del mismo modo hemos realizado ejercicios en clase para entender de una manera más clara la conceptualización de la temática, la cual con el paso de las semanas ha aumentado su complejidad.



Veamos un desarrollo de la temática.

LENGUAJE PREDICATIVO



El lenguaje de predicados de primer orden se caracteriza por extender la lógica proposicional. Destaca tanto por los elementos de las sentencias que forman parte de los argumentos como por la estructura de éstos, en donde lo más importante son los individuos que intervienen y los predicados que les afectan.

Antes de entrar en profundidad, veamos un ejemplo que hicimos en clase, el cual nos muestra que el lenguaje de predicados es muy importante, puesto que amplía nuestras posibilidades de formalizacion de sentencias.

P1: Todos los hombre son mortales
P2: Sócrates es mortal
Q: Sócrates es un hombre

En este caso en concreto, el argumento es correcto, pero no hay forma de hallar relación entre las premisas y la conclusión, mientras que en el lenguaje de predicados, es muy acertivo formalizar el anterior argumento.

Marco Conceptual:
H(x) x es hombre
M(x) x es mortal
s : Sócrates

P1: ∀x[H(x) → M(x)]
P2: M(s)
Q: H(s)

El lenguaje de predicados utiliza:



TERMINOS:

Utiliza Constantes y variables y se supone definido un dominio no vacío en el cual toman valores. Pueden ser:
Constantes (a, b, c,): Designan nombre a objetos concretos del dominio
Variables (x, y, z): Representan objetos cualesquiera del Universo u objetos desconocidos en ese momento.



PREDICADOS:

Se utilizan para expresar propiedades o relaciones entre los objetos. Pueden ser:
Monádicos: Expresan propiedades de los objetos
Ejemplo:
Mo(x): x es moreno
Constantes: juan
Juan es Moreno = Mo (juan)

Poliádicos: Expresan relaciones entre los objetos
Ejemplo:
Ti(x, y): x tiene y
Constantes: marco, moto
Marco tiene un coche = Ti (marco, coche)

Es importante tener en cuenta el orden de los argumentos, y que la aridad del mismo es fija.



CUANTIFICADORES:

Universal (∀)): Todos los elementos del dominio cumplen una determinada propiedad o relación.
Ejemplo: Todos los gatos son negros
ga(x): x es un gato
Ne(x): x es negro
∀x [ga(x)→ne(x)]

Existencial (∃): Algún elemento del dominio cumple una determinada propiedad o relación.
Ejemplo: Algunos gatos son negros
∃x [ga(x) ^ ne(x)]

Cuando formalizamos en el lenguaje predicativo siempre debemos preguntarnos cual es el dominio o el universo del discurso, es decir, cual es el conjunto de objetos con el que estamos trabajando, puesto que este será nuestro marco de referencia de nuestro lenguaje en un momento dado.
El dominio condiciona la formalizacion, y podemos verlo en el siguiente ejemplo:

Todos los Alumos son guapos. Dominio{Universo}
Al(x): x es alumno
G(x): x es guapo
∀x [Al(x)→G(x)]

Si nuestro dominio fuese alumnos, la formalización de nuestra sentencia sería diferente.

Todos los Alumos son guapos. Dominio{Alumnos}
G(x): x es alumno y cumple la propiedad “guapo”
∀x G(x)



Así como en el lenguaje proposicional, en el predicativo también existen unas reglas gramaticales, para la construcción correcta de formulas predicativas.

Fórmula predicativa bien formada (fbf):
1.- Cualquier fbf proposicional es una fbf.
2.- Si P es un predicado, entonces P (t1, t2,…tn) es una fbf, siendo ti términos.
3.- Si F es una fbf que tiene la variable xi libre, entonces:
– ∀ Xi F(X1, X2,…Xi,…Xn).
– ∃ Xi F(X1, X2,…Xi,…Xn) son fbf.
La variable xi es ligada y las xk, k¹i, libres.
4.- Sólo son fbf las obtenidas por 1, 2 y 3.



Algunos términos importantes en la cuantificación de predicados son:

Índice cuantificacional: variable adosada al cuantificador.
Prefijo cuantificacional: cuantificador e índice cuantificacional.
Matriz cuantificacional: parte de fbf afectada por el índice cuantificacional.
Alcance del cuantificador: parte de fbf donde ejerce su cuantificación.
Variable libre: no está afectada por ningún cuantificador.
Variable ligada: afectada por algún cuantificador.



Para finalizar, veamos otros ejemplos que realizamos en clase.

Marco Conceptual
Dominio{Animales}
De(x): x es delfin
Fo(x): x es foca
J(x): x es juegueton
V(x,y): x vive con y

Constantes: fli, flo, flu

  • Fli, Flo y Flu son Delfines
  • De(fli) ∧ De(flo) ∧ De(flu)

  • Los Delfines son juguetones
  • ∀x [De(x) → J(x)]

  • Algunos Delfines son juguetones
  • ∃x [De(x) ∧ J(x)]

  • Los Delfines no son juguetones
  • ∀x [De(x) → ¬J(x)] = ∀x [¬De(x) v ¬J(x)] = ∀x ¬[De(x) ∧ J(x)] = ¬∃x [De(x) ∧ J(x)]

  • No todos los Delfines son juguetones
  • ¬∀x [De(x) → J(x)] = ∃x [De(x) ∧ ¬J(x)]

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    Tema 2: El lenguaje de la lógica de proposiciones

    clase Nº 2, 16 de Octubre de 2007, Horario: 15:00 – 17:00, Carlos Villagrá.

    Saludos.

    En esta nuestra segunda clase de lógica hemos estudiado la lógica proposicional, la forma en que se representan los enunciados atómicos y moleculares, los conectivos utilizados en dicho lenguaje. Además realizamos una actividad de razonamiento para empezar a familiarizarnos con ejercicios de este tipo de lenguaje.



    Ahora veamos el desarrollo de la temática proposicional



    LENGUAJE PROPOSICIONAL

    Representación del lenguaje usual, tomando como base de formulación, una representación matemática de las frases declarativas simples llamadas proposiciones.

    Una Proposición es una sentencia declarativa de información con sentido completo y que puede ser verdadera o falsa.

    La simbolización del lenguaje de proposiciones esta constituida de la siguiente manera:



    ALFABETO
    Variables proposicionales: Suele usarse las letras p, q, r, etc., aunque es recomendable declarar variables que den información clara de la proposición.
    Ejemplo: ga: El gato es de color negro.

    Conectivas Lógicas: Negador: ¬
    Conjuntor: ^
    Disyuntor: v
    Implicador: ->
    Coimplicador: <->

    Símbolos Auxiliares: (,), [,],…



    ENUNCIADO SIMPLE O PROPOSICION ATOMICA
    Unidad mínima del lenguaje proposicional, siendo una sentencia declarativa indivisible.

    Pueden ser de tres tipos:
    – De Acción con sujeto no determinado: Ejemplo: Llueve, hace calor, es verano
    – De atribución de propiedades a sujetos: Ejemplo, Laura es morena, Camilo es bombero
    – De Relación entre Sujetos: Ejemplo, Rosa es profesora de Andrés



    PROPOSICION MOLECULAR
    Sentencia declarativa formada por proposiciones atómicas enlazadas por conectivos lógicos, y cuyo valor de verdad depende de los valores de cada una de las proposiciones atómicas y del comportamiento de los conectores.
    Ejemplo:
    Lorena es informática y Pedro es arquitecto.
    Lo: Lorena es informática, pe: Pedro es arquitecto están unidas por el conector lógico llamado conjuntor.



    En el Lenguaje Proposicional es necesario seguir el siguiente conjunto de Reglas Gramaticales para construir formulas proposiciones bien formadas (fbf).

    1.- Una variable proposicional es una proposición.
    2.- Si A es una fbf, ¬A es fbf.
    3.- Si A y B son fbf también:
    A ^ B, A v B, A -> B, A <-> B.
    4.- Sólo son fbf 1, 2 y 3.



    Formulas Equivalentes

    Se dice que dos formulas son equivalentes, si se observa que todas sus interpretaciones son iguales. A continuación, proposiciones equivalentes:
    * ¬ (p ^ q) = ¬p v ¬q
    * ¬ (p v q) = ¬ p ^ ¬q
    * p -> q = ¬ p v q =¬(p ^ ¬q)
    * p <-> q = (p -> q) ^ ( q -> p)

    Ahora veamos algunos enunciados de la lógica de proposiciones, con la formalización:
    * Ma: Maria juega al mus
    * Ju: Juan juega al mus

    Maria y Juan juegan al mus
    Ma ^Ju

    Ni Maria ni Juan juegan al mus
    ¬Ma ^ ¬Ju

    O Maria o Juan juegan al mus
    Ma v Ju

    Maria juega al mus sin embargo Juan no
    Ma ^ ¬Ju

    Al menos Maria o Juan juegan al mus
    Ma v Ju

    No sucede que Maria juegue al mus y Juan no
    ¬(Ma ^ ¬Ju)

    No sucede que Maria y Juan jueguen al mus
    ¬(Ma ^ Ju)

    No sucede que Maria o Juan jueguen al mus
    ¬(Ma v Ju)

    Si Maria juega al mus Juan también
    Ma -> Ju

    Sólo si Maria juega al mus Juan también juega
    Ju -> Ma

    Maria no juega al mus a menos que juegue Juan
    Ma -> Ju

    Para que Maria juegue al mus es necesario que también juegue Juan
    Ma -> Ju

    Es suficiente que Juan juegue al mus para que juegue Maria
    Ju -> Ma



    Aquí enlazo la primera pueba lógica realizada en clase relacionada con la logica de proposiciones.
    Prueba Logica 2

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    Bloque I: El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden. Clases Teóricas

    Tema 1: Un aperitivo de lógica para ir “abriendo boca”

    clase Nº 1, 2 de Octubre de 2007, Horario: 15:00 – 17:00, Carlos Villagrá.

    clase Nº 10, 11 de Diciembre de 2007, Horario: 15:00 – 17:00, Carlos Villagrá.

    En nuestra primera clase de lógica conocimos los objetivos a alcanzar a lo largo del desarrollo del Bloque I de LC, a su vez empezamos a ver desde una perspectiva global el concepto de lógica y la manera en la que se divide la Lógica de Primer Orden.
    A partir de ese día conceptos como Lenguaje Proposicional y Lenguaje de Predicativo comenzaron a ser parte de nuestro vocabulario.
    La primera impresion que tuve sobre esta asignatura, es que no era facil, pero al finalizar la clase llegué a la conclusión de que debo estudiar lógica.






    Ahora si!, entremos en materia.

    La Lógica se define como la disciplina que contiene como verdades aquellas en las que sólo figuran esencialmente ocurrencias de ciertas expresiones, que son de uso general en todos los saberes. La Lógica se creó como ciencia dedicada a la identificación de las formas humanas de razonamiento, con el objetivo de crear criterios par discernir la corrección o no de los argumentos usados en discusiones filosóficas de los antiguos griegos, hoy en día es un instrumento fundamental en la construcción de ordenadores, en la creación de lenguajes de programación y en los sistemas expertos de Inteligencia Artificial.

    Logica de Primer Orden, Mª Jesus Castel de Haro
    Farón Llorens Largo


    En conclusión, se puede decir, que la Lógica es la ciencia formal que determina la verdad o falsedad de sentencias a partir de otras verdades, usandoreglas de inferencia.

    El razonamiento o argumento, consta de una estructura formada por un conunto de premisas, conclusiones e inferencias(proceso para obtener conslusiones a partir de premisas).

    Los argumentos pueden ser:
    * Deductivos: La verdad de las premisasa implica la verdad de la conclusión de lo general a lo particular.
    Ejemplo: Todo lo que es bueno es caro, luego, si todo es bueno todo es caro.
    * No Deductivos: La conclusión no se sigue necesariamente de las premisas, parecen correctos.
    Ejemplo: Si todo es bueno, todo es caro, luego todo lo que es bueno es caro.
    * Inductivos: La conclusión se sigue probablemente de las premisas.
    Ejemplo: Todas las esmeraldas encontradas hasta ahora han sido verdes, luego la próxima esmeralda que se localice será verde.





    ¿Cómo estudia la lógica la validez de un razonamiento?
  • Representa el lenguaje formal de la lógica
  • Interpreta o estudia la falsedad o verdad en un entorno real
  • Obtiene respuesta o deduce nueva información con métodos de prueba


  • El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden se divide en

  • Lenguaje Proposicional: Formaliza sentencias declarativas del lenguaje natural en formulas proposicionales del lenguaje proposicional. El elemento básico es la proposición o enunciado atómico.
  • Lenguaje Predicativo: Representa propiedades y relaciones entre sujetos del mundo. Las componentes básicas son los términos y los predicados.

    Para finalizar, aquí enlazo la primera prueba lógica realizada en clase.
    prueba_logica_1.pdf