Problema 4 de la Fase Local (sábado) de la Olimpiada Matemática Española (2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Probar que:

1) La suma de la distancias desde un punto de la superficie de la esfera inscrita en un cubo en el espacio tridimensional real a todas las caras del mismo no depende del punto elegido.

2) Misma cuestión anterior para la suma de los cuadrados de las distancias.

3) Misma cuestión que las anteriores para la suma de los cubos de las distancias.

Solución:

Mi forma favorita de abordar este tipo de problemas, salvo que tenga muy clara su visualización, es usar vectores.

Puesto que la escala es indiferente, voy a tomar un cubo y una esfera que resulte cómodo de tratar. Dicho de otra manera, elegiré la escala y la ubicación del origen de coordenadas de una manera cómoda. El origen estará en el centro del cubo, y los ejes paralelos a las diferentes aristas del cubo.

La esfera estará centrada en el (0, 0, 0) y su radio será 1. Así, cualquier punto de su superficie tendrá una distancia de 1 al centro, es decir, si x, y y z son sus coordenadas, tendremos que x² + y² + z² = 1.

El cubo lo situaremos de forma que los puntos de sus caras serán paralelos a los planos principales del espacio, es decir, que todos los puntos de una cara (llamémosla A) tendrán, por ejemplo, la coordenada x = 1, mientras que la coordenada y y la coordenada z tendrán un valor entre –1 y 1 en ambos casos. La cara opuesta (B) tendrá la coordenada x = –1, y de nuevo las otras dos un valor entre –1 y 1. Las otras cuatro caras se caracterizarán de la misma forma, pero la coordenada que permanecerá constante en dos casos será y (C la positiva y D la negativa), y en otros dos z (E la positiva y F la negativa). Este cubo tiene lado 2, y está claro que la esfera está inscrita, pues es tangente a cada una de las seis caras exactamente en el centro.

Un punto cualquier de la esfera será (x, y, z) con la condición x² + y² + z² = 1, como ya hemos dicho.

La distancia del punto a la cara A será 1 – x, porque el punto más próximo de la cara a éste tiene 1 de coordenada x, mientras que la y y la z son iguales a las del punto, evidentemente. La diferencia entre ambos puntos sólo tiene componente x, y este valor es positivo.

Por la misma razón (punto más próximo), la distancia a B será x + 1, la de C, 1 – y, la de D y + 1, la de E 1 – z y la de F z + 1.

El apartado (a) consiste en sumar esas seis distancias, así que 1 – x + x + 1 + 1 – y + y + 1 + 1 – z + z + 1 = 6, es decir que claramente es una constante.

El apartado (b) requiere probar que (1 – x)² + (x + 1)² + (1 – y)² + (y + 1)² + (1 – z)² + (z + 1)² = 1 – 2x + x² + 1 + 2x + x² + 1 – 2y + y² + 1 + 2y + y² + 1 – 2z + z² + 1 + 2z + z² = 6 + 2(x² + y² + z²) = 6 + 2 = 8. Es sencillo ver que las partes lineales se contrarrestan y la suma de las partes cuadráticas son constantes por estar sobre una esfera.

El apartado (c) es algo más pesado, ya que necesita que sepamos desarrollar (1 + h)³ para cualquier valor positivo o negativo de h. Este desarrollo se puede hacer multiplicando polinomios, o bien con lo que estudiamos en bachillerato de las potencias de los binomios, y se obtiene 1 + 3h + 3h² + h³, donde los términos que pueden tener signos positivos o negativos son exclusivamente el segundo y el cuarto (aquellos en los que la potencia de h es impar).

De esta forma, (1 – x)³ + (x + 1)³ + (1 – y)³ + (y + 1)³ + (1 – z)³ + (z + 1)³ = 6 + 3x – 3x + 3y – 3y + 3z – 3z + 6x² + 6y² + 6z² + x³ – x³ + y³ – y³ + z³ – z³ = 6 + 6(x² + y² + z²) = 6 + 6 =12.

Es muy probable que las sumas de potencias cuartas ya no salga constante, ya que no tenemos la garantía de que la suma de las cuartas potencias de las tres variables sea constante. De hecho, si tomamos un par de puntos, como por ejemplo (1/3, 2/3, 2/3) y (1, 0, 0), que cumplen claramente la condición que se pide, podemos comprobar que (1 – x)⁴ + (x + 1)⁴ + (1 – y)⁴ + (y + 1)⁴ + (1 – z)⁴ + (z + 1)⁴ da, en el primer caso, 508/27, algo menos de 19, mientras que en el segundo da 20. Está claro que esa suma de potencias no será constante, por tanto.

Problema 6 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea AD la mediana de un triángulo ABC de forma que el ángulo ADB es de 45º, y ACB es de 30º.

Determinar el valor del ángulo BAD.

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Problema 5 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Sea n un número natural. Probar que si la última cifra de 7ⁿ es 3, la penúltima es 4.

Solución:

De nuevo otro problema de números enteros con potencias de 7. La estructura de la solución es muy conocida, se trata de encontrar un patrón en las cifras y estudiar los casos que se presenten. Se puede trabajar por inducción o bien por restos (congruencias).

La clave está en que 7⁴ = 2401, que es de la forma 100k + 1. De esta forma, 7^{n + 4} = 7ⁿ·(100k + 1) = 100k + 7ⁿ, por lo que 7^{n + 4} tiene las mismas últimas dos cifras que 7ⁿ. Es fácil razonarlo de muchas otras formas, incluso aritméticamente.

Por ejemplo: está claro que los últimos dos dígitos de un producto sólo dependen de los dos últimos dígitos de los factores, de forma que, puesto que 7·7 = 49, 49·7 = 343, que acaba en 43, y 43·7 = 301, que acaba en 01, y 1·7 = 7, vuelven a repetirse los dos últimos dígitos de las potencias de 7 cada 4 potencias, siendo sus terminaciones 07, 49, 43, y 01.

Por lo tanto, las únicas posibles dos últimas cifras para las potencias de 7 son 01, 07, 49 y 43. Por lo tanto, la única forma de que la última cifra de 7ⁿ sea 3 es que n sea de la forma 4r + 3, es decir, que la penúltima cifra es evidente que será 4.

El error más común en este tipo de razonamientos es demostrar que los valores de la forma 4r + 3 acaban en 43 y tienen un 3 en la última cifra y un 4 en la penúltima, pero no mencionar que los que no son de esa forma (los demás) no pueden tener el 3 como última cifra (como es evidente, una vez descubierta la secuencia) y que, como se pide, acabar en 3 implica que la penúltima cifra es un 4.

Problema 4 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determina los números reales x > 1 para los cuales existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes siguientes:

x⁴ + x³ + 2x² + x + 1

2x³ + x² + 2x + 1

x⁴ – 1.

Solución:
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Problema 3 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matemática Española (2018)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la igualdad siguiente:

f(x + f(x + y)) = f(2x) + y

Solución:
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