{"id":1001,"date":"2019-02-01T18:56:56","date_gmt":"2019-02-01T18:56:56","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1001"},"modified":"2019-02-21T22:11:16","modified_gmt":"2019-02-21T22:11:16","slug":"falacias-matematicas-algunos-razonamientos-incorrectos-pero-persuasivos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/02\/01\/falacias-matematicas-algunos-razonamientos-incorrectos-pero-persuasivos\/","title":{"rendered":"Falacias matem\u00e1ticas: algunos razonamientos incorrectos pero persuasivos"},"content":{"rendered":"<p><!--more-->El t\u00e9rmino <strong>falacia matem\u00e1tica<\/strong> se emplea normalmente para designar un razonamiento err\u00f3neo pero con la apariencia de raciocinio correcto, es decir, persuasivo o enga\u00f1oso. En particular, algunas falacias matem\u00e1ticas han llegado a cautivar la atenci\u00f3n del gran p\u00fablico por lograr \u201cprobar\u201d (evidentemente de forma err\u00f3nea), a trav\u00e9s de unos pocos pasos, igualdades imposibles del tipo <em>0=1<\/em> o <em>1=2<\/em>.<\/p>\n<p>En esta entrada veremos algunos ejemplos significativos de falacias en las que el razonamiento err\u00f3neo se debe a una mala o inadecuada interpretaci\u00f3n de alguno de los elementos o definiciones que entran en juego (lo que lleva impl\u00edcito a su vez una falta de rigor matem\u00e1tico), y otras en los que el motivo es un procedimiento err\u00f3neo de c\u00e1lculo.<\/p>\n<ul>\n<li>\u00bf<em>0=1<\/em>? Observemos con atenci\u00f3n\u00a0\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1011 alignnone\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/atencion.jpg\" alt=\"\" width=\"30\" height=\"30\" \/><br \/>\nEn esta primera falacia matem\u00e1tica que os muestro en la imagen que viene a continuaci\u00f3n, la expresi\u00f3n inicial en la que aparece el s\u00edmbolo de la integral acompa\u00f1ado de la funci\u00f3n <em>1\/(x ln x)<\/em> nos lleva aparentemente a \u201cprobar\u201d que <em>0=1<\/em>. Por tanto, el t\u00f3pico principal de esta falacia es el c\u00e1lculo de primitivas.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1002\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/01.jpg\" alt=\"\" width=\"2048\" height=\"1330\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/01.jpg 2048w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/01-300x195.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/01-768x499.jpg 768w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/01-1024x665.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 2048px) 100vw, 2048px\" \/>La clave est\u00e1 en el hecho de que estamos trabajando con el concepto de integral indefinida. Una inspecci\u00f3n inicial nos puede llevar a pensar varios hechos:<\/p>\n<p>-Por ejemplo, conviene inicialmente notar que se puede calcular una primitiva de forma inmediata, ya que la expresi\u00f3n del integrando (recordemos, <em>1\/(x ln x)<\/em>) responde a la forma <em>f'(x)\/f(x)<\/em>, con <em>f(x)=ln x<\/em>, pero eso no elimina la posibilidad de poder en principio utilizar integraci\u00f3n por partes&#8230;<\/p>\n<p>-Adem\u00e1s, para que tenga sentido calcular primitivas de la funci\u00f3n <em>1\/(x lnx)<\/em> se supone ya desde el principio que trabajamos en el dominio de dicha funci\u00f3n, es decir, en el conjunto <em>{x en R: x&gt;0, x\u22601}<\/em>. Por ejemplo, podemos suponer que, sin p\u00e9rdida de generalidad, se trabaja en un intervalo <em>[a,b]<\/em> incluido en <em>(0,1)<\/em> o incluido en <em>(1,\u221e)<\/em>, y que se pretende calcular primitivas de dicha funci\u00f3n en un intervalo de esa forma. As\u00ed que el motivo de llegar a una contradicci\u00f3n no pasa por la ausencia de las condiciones habituales que se han de verificar para, por ejemplo, poder aplicar la integraci\u00f3n por partes, ya que en efecto las funciones elementales que entran en juego satisfacen en dichos intervalos las condiciones de integrabilidad, e incluso sus derivadas son tambi\u00e9n integrables.<\/p>\n<p>Os muestro a continuaci\u00f3n la explicaci\u00f3n que escrib\u00ed sobre la contradicci\u00f3n obtenida anteriormente (conviene tambi\u00e9n mencionar que en muchos textos y foros en los que se ha hecho alusi\u00f3n a falacias de este tipo se suelen omitir estas explicaciones).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1003\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/sol1.jpg\" alt=\"\" width=\"838\" height=\"794\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/sol1.jpg 838w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/sol1-300x284.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/sol1-768x728.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 838px) 100vw, 838px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>\u00bf<em>2=1<\/em>? Observemos con atenci\u00f3n\u00a0\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1011 alignnone\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/atencion.jpg\" alt=\"\" width=\"39\" height=\"39\" \/><br \/>\nEn esta segunda falacia son las reglas b\u00e1sicas del \u00e1lgebra y las operaciones con expresiones algebraicas las que entran en juego.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1004\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/2.jpg\" alt=\"\" width=\"1730\" height=\"202\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/2.jpg 1730w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/2-300x35.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/2-768x90.jpg 768w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/2-1024x120.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 1730px) 100vw, 1730px\" \/><\/p>\n<p>La raz\u00f3n de que lleguemos en este caso al absurdo <em>2=1<\/em> viene dada por el hecho de que <em>x=y<\/em> implica que <em>x-y=0<\/em>, por lo que al multiplicar y dividir por <em>(x-y)<\/em> estamos infringiendo las reglas b\u00e1sicas. En efecto, existen muchas falacias similares que se basan en multiplicar o dividir por un t\u00e9rmino que resulta ser id\u00e9nticamente igual a <em>0<\/em>.<\/p>\n<ul>\n<li>\u00bf<em>0\u22651<\/em>? Observemos con atenci\u00f3n\u00a0\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1011 alignnone\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/atencion.jpg\" alt=\"\" width=\"40\" height=\"40\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1005\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Otra-falacia.jpg\" alt=\"\" width=\"1725\" height=\"606\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Otra-falacia.jpg 1725w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Otra-falacia-300x105.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Otra-falacia-768x270.jpg 768w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Otra-falacia-1024x360.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 1725px) 100vw, 1725px\" \/><\/p>\n<p>Esta tercera falacia tambi\u00e9n involucra las reglas b\u00e1sicas propias de las desigualdades. Recordemos que si <em>1&lt;2<\/em>, entonces <em>(-1)\u00b71=-1&gt;(-1)\u00b72=-2<\/em>, esto es, hemos de cambiar la desigualdad cuando multiplicamos por un n\u00famero negativo.<\/p>\n<ul>\n<li>La cuarta y quinta falacia involucra a la unidad imaginaria <em>i<\/em>, s\u00edmbolo introducido en la literatura por Leonhard Euler (recordemos que <em>i^2=-1<\/em>), y nos lleva a &#8220;demostrar&#8221; que <em>1=-1<\/em>. Observemos con atenci\u00f3n\u00a0\u00a0<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1011 alignnone\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/atencion.jpg\" alt=\"\" width=\"36\" height=\"36\" \/><\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1006\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Falacias4y5.jpg\" alt=\"\" width=\"863\" height=\"473\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Falacias4y5.jpg 863w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Falacias4y5-300x164.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/Falacias4y5-768x421.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 863px) 100vw, 863px\" \/><\/p>\n<p>En ambos casos, la problem\u00e1tica est\u00e1 relacionada con el hecho de que no hay ninguna regla en el caso complejo que nos asegure que la ra\u00edz del producto (o del cociente) sea el producto de ra\u00edces (o el cociente de ra\u00edces). Si trabaj\u00e1ramos con n\u00fameros positivos, esta propiedad s\u00ed que sabemos que es cierta, pero en general no lo es.<\/p>\n<p>Evidentemente estos casos son bastante llamativos debido a que se llega a igualdades imposibles que nos llevan de inmediato a la necesidad de comprobar cada uno de los pasos que se han utilizado en el razonamiento en cuesti\u00f3n. Esto muestra de nuevo la importancia del rigor y la especificaci\u00f3n en el quehacer matem\u00e1tico.<br \/>\nOs animo a utilizar estas falacias como estrategia de motivaci\u00f3n en vuestras tareas docentes.<\/p>\n<p style=\"text-align: right\"><strong><em>Escrito por Juan Mat\u00edas Sepulcre<\/em><\/strong><\/p>\n<p>PD: <em>Esta entrada forma parte del\u00a0<strong>Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/strong>\u00a0que en esta octag\u00e9sima edici\u00f3n, denominada 9.4 Regla y comp\u00e1s est\u00e1 organizada por\u00a0<strong>Miguel \u00c1ngel Morales Medina<\/strong>\u00a0a trav\u00e9s de su blog\u00a0<a href=\"https:\/\/www.gaussianos.com\/edicion-9-4-regla-y-compas-del-carnaval-de-matematicas-del-26-de-enero-al-3-de-febrero-de-2019\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Gaussianos<\/a>.\u00a0Finalmente el post qued\u00f3 en <a href=\"https:\/\/www.gaussianos.com\/premio-al-mejor-post-de-la-edicion-9-4-regla-y-compas-del-carnaval-de-matematicas\/\">segunda posici\u00f3n<\/a> de esta edici\u00f3n con 11 puntos recibidos.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[676],"tags":[],"class_list":["post-1001","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-sin-categoria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1001","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1001"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1001\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1047,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1001\/revisions\/1047"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1001"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1001"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1001"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}