{"id":1016,"date":"2019-02-02T08:14:36","date_gmt":"2019-02-02T08:14:36","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1016"},"modified":"2019-02-02T08:15:38","modified_gmt":"2019-02-02T08:15:38","slug":"solucion-a-ecuacion-decimal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/02\/02\/solucion-a-ecuacion-decimal\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n decimal"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 de la Olitele 2018\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En este ejercicio, [x] representa la parte entera del n\u00famero x, y {x}, su parte decimal.<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1nto suman las soluciones de la ecuaci\u00f3n 10[x] + 20{x} = K?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-997\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/01\/78.Ecuanciondecimal.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/01\/78.Ecuanciondecimal.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/01\/78.Ecuanciondecimal-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<!--more--><br \/>\nPara entender lo que nos est\u00e1n preguntando, pondremos un caso concreto.<\/p>\n<p>Imagina que te piden que resuelvas para K = 84.3, por ejemplo (he puesto este n\u00famero despu\u00e9s de haber probado otros m\u00e1s sencillos, para que no fuese algo demasiado f\u00e1cil).<\/p>\n<p>10[x] + 20{x} = 84.3<\/p>\n<p>20{x} = 84.3 \u2013 10[x]<\/p>\n<p>Pero si multiplicamos una parte decimal por 20, obtendremos un n\u00famero menor que 20. Entre 0 y 20, concretamente.<\/p>\n<p>Para conseguir que esa diferencia est\u00e9 entre 0 y 20, como 10[x] es un m\u00faltiplo de 10, [x] debe estar entre 8 (si vale m\u00e1s la diferencia ser\u00eda negativa) y 7 (si fuese menor, la diferencia ser\u00eda mayor que 20).<\/p>\n<p>Si [x] = 8, 84.3 \u2013 10[x] = 4.3, y por tanto {x} = 4.3\/20 = 0.215, por lo que una soluci\u00f3n ser\u00eda 8.215. En efecto, 10\u00b78 + 20\u00b70.215 = 84,3.<\/p>\n<p>Si [x] = 7, 84.3 \u2013 10[x] = 14.3, y por tanto {x} = 14.3\/20 = 0.715, por lo que la otra soluci\u00f3n valdr\u00eda 7.715.<\/p>\n<p>La suma de ambas, por tanto, ser\u00eda 15.93.<\/p>\n<p>Vamos a intentar generalizar a partir de un valor cualquiera de K.<\/p>\n<p>La expresi\u00f3n K \u2013 10[x] debe estar entre 0 y 20, sin llegar a 20.<\/p>\n<p>Puesto que 10{x} es m\u00faltiplo de 10, uno de los valores ser\u00e1 [K\/10], es decir, la parte entera de dividir K entre 10, ya que al multiplicarla por 10 dar\u00e1 el m\u00faltiplo de 10 inferior a K m\u00e1s pr\u00f3ximo, y K \u2013 10[x] ser\u00e1 menor que 10. En ese caso, K \u2013 10[x] = 10 (K\/10 \u2013 [K\/10]) = 10{K\/10}. Eso quiere decir que 20{x} = 10{K\/10}, por lo que {x} = {K\/10}\/2.<\/p>\n<p>La otra soluci\u00f3n ser\u00e1 una unidad menor, es decir, [K\/10] \u2013 1, en ese caso, K \u2013 10[x] = 10(K\/10 \u2013 ([K\/10] \u2013 1)) = 10(K\/10 \u2013 [K\/10] + 1) = 10({K\/10} + 1) = 10{K\/10} + 10. Eso quiere decir que {x} = {K\/10}\/2 + 0.5.<\/p>\n<p>No habr\u00e1 m\u00e1s soluciones, ya que si [x] es mayor, la diferencia ser\u00e1 negativa, y si es menor, la diferencia valdr\u00e1 como m\u00ednimo 20.<\/p>\n<p>Ahora, como x = [x] + {x}, la suma de las dos soluciones ser\u00eda [K\/10] + {K\/10}\/2 + [K\/10] \u2013 1 + {K\/10}\/2 + 0.5, lo que da un total de 2[K\/10] + {K\/10} \u2013 0.5, es decir, [K\/10] + K\/10 \u2013 0.5. En nuestro ejemplo, eso coincide con 8 + 8.43 \u2013 0.5 = 15.93, en efecto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 de la Olitele 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os En este ejercicio, [x] representa la parte entera del n\u00famero x, y {x}, su parte decimal. \u00bfCu\u00e1nto suman las soluciones de la ecuaci\u00f3n 10[x] + 20{x} = K? 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