{"id":1025,"date":"2019-02-09T11:44:09","date_gmt":"2019-02-09T11:44:09","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1025"},"modified":"2019-02-09T11:44:09","modified_gmt":"2019-02-09T11:44:09","slug":"solucion-a-divisible-entre-37","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/02\/09\/solucion-a-divisible-entre-37\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a divisible entre 37"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Para cada n\u00famero de cuatro cifras <span style=\"text-decoration: overline\">abcd<\/span>, denotamos por S al n\u00famero S = <span style=\"text-decoration: overline\">abcd<\/span> \u2013 <span style=\"text-decoration: overline\">dcba<\/span>. Demuestra que S es m\u00faltiplo de 37 si y s\u00f3lo si las dos cifras centrales del n\u00famero abcd son iguales.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1023\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/79.Divisibleentre37.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/79.Divisibleentre37.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/79.Divisibleentre37-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more-->\u00c9ste, pese a ser un problema de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola, es un problema sencillo.<\/p>\n<p>La pista que debemos seguir es lo que le pasa a un n\u00famero cuando realizamos la resta que pide.<\/p>\n<p>Por ejemplo, 4321 \u2013 1234 = 3087, que podemos comprobar que no es divisible por 37 (37\u00b783 = 3071), pero 5224 \u2013 4225 = 0999, que es 37*27.<\/p>\n<p>Construir un n\u00famero a partir de sus cifras consiste en escribirlo como 1000\u00b7a + 100\u00b7b + 10\u00b7c + d.<\/p>\n<p>As\u00ed, la resta S = 1000\u00b7a + 100\u00b7b + 10\u00b7c + d \u2013 (1000\u00b7d + 100\u00b7c + 10\u00b7b + a) = 999\u00b7a + 90\u00b7b \u2013 90\u00b7c \u2013 999\u00b7d.<\/p>\n<p>Supongamos que nuestro n\u00famero s\u00ed tiene las dos cifras centrales iguales, entonces 90\u00b7b \u2013 90\u00b7c = 0, por lo que S = 999\u00b7a \u2013 999\u00b7d = 999(a \u2013 d) = 37\u00b727(a \u2013 d), que evidentemente es m\u00faltiplo de 37.<\/p>\n<p>Ahora bien, si, por el contrario, suponemos que S es m\u00faltiplo de 37, entonces S = 37\u00b7k para un cierto valor entero k. Por lo tanto, la igualdad es 37k = 999a + 90b \u2013 90c \u2013 999d, y por tanto 37k + 999d \u2013 999a = 90b \u2013 90c, es decir, que 37(k + 27d \u2013 27a) = 90(b \u2013 c), sacando factor com\u00fan en cada extremo de la igualdad.<\/p>\n<p>Como 37 es un factor primo y divide claramente al primer n\u00famero, tambi\u00e9n debe dividir al segundo, por lo que divide a uno de los dos factores. Evidentemente, no divide a 90, y para que divida a b \u2013 c, que es un n\u00famero entre -9 y 9, puesto que b y c son cifras en base 10, necesariamente b \u2013 c = 0, es decir b = c, como se ped\u00eda.<\/p>\n<p>Nota: este problema depende claramente de que el n\u00famero 37, as\u00ed como el n\u00famero de partida, est\u00e9n escritos en base diez, ya que la factorizaci\u00f3n de a\u00b3 \u2013 1 en otra base a que no sea la decimal puede contener otros factores.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Para cada n\u00famero de cuatro cifras abcd, denotamos por S al n\u00famero S = abcd \u2013 dcba. Demuestra que S es m\u00faltiplo de 37 si y s\u00f3lo si las dos cifras centrales del n\u00famero [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1025","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1025","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1025"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1025\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1027,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1025\/revisions\/1027"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1025"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1025"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1025"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}