{"id":1033,"date":"2019-02-16T10:51:57","date_gmt":"2019-02-16T10:51:57","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1033"},"modified":"2019-02-16T10:51:57","modified_gmt":"2019-02-16T10:51:57","slug":"solucion-a-sucesion-e-igualdad-entre-productos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/02\/16\/solucion-a-sucesion-e-igualdad-entre-productos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a sucesi\u00f3n e igualdad entre productos"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Demuestra que para todo n \u2265 2 podemos encontrar n n\u00fameros reales x<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub>, \u2026, x<sub>n<\/sub> \u2260 1 de manera que los productos x<sub>1<\/sub>\u00b7x<sub>2<\/sub>\u00b7&#8230;\u00b7x<sub>n<\/sub> y (1\/(1 \u2013 x<sub>1<\/sub>))\u00b7(1\/(1 \u2013 x<sub>2<\/sub>))\u00b7&#8230;\u00b7(1\/(1 \u2013 x<sub>n<\/sub>)) son iguales.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1031\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/80.Sucesionigualdadproducto.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/80.Sucesionigualdadproducto.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/02\/80.Sucesionigualdadproducto-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nVamos con uno de los problemas que decide m\u00e1s de la Fase Local.<\/p>\n<p>Debemos empezar estudiando el caso para n = 2 (es sencillo ver que para n = 1 no existe un n\u00famero en el que la igualdad se d\u00e9, pero eso no parece tener consecuencias para el problema).<\/p>\n<p>Para buscar los dos n\u00fameros, podemos recurrir a fijar uno de los n\u00fameros y buscar el otro. Por ejemplo, si uno de los n\u00fameros vale 2, tenemos la ecuaci\u00f3n 2\u00b7x = 1\/(1 \u2013 2)\u00b71\/(1 \u2013 x), que se transforma quitando denominadores en \u20132x(1 \u2013 x) = 1. Quitando los par\u00e9ntesis y transformando un poco, tenemos que 2x\u00b2 \u2013 2x \u2013 1 = 0, lo que proporciona una ecuaci\u00f3n de segundo grado que tiene dos soluciones. Cualquiera de ellas nos vale como segundo n\u00famero, por ejemplo (1 + ra\u00edz(3))\/2.<\/p>\n<p>En efecto, veamos que el par de n\u00fameros 2,  (1 + ra\u00edz(3))\/2 vale. El producto de ambos es 1 + ra\u00edz(3). Por otra parte, 1 \u2013 2 = -1, y 1 \u2013 (1 + ra\u00edz(3))\/2 = (2 \u2013 1 \u2013 ra\u00edz(3))\/2 = (1 \u2013 ra\u00edz(3))\/2. Ahora, si invertimos estos n\u00fameros y los multiplicamos, da 1\/(-1)\u00b71\/((1 \u2013 ra\u00edz(3))\/2) = 2\/(ra\u00edz(3) \u2013 1) y este n\u00famero, racionalizando, es decir, multiplicando numerador y denominador por (ra\u00edz(3) + 1), da 2\u00b7(ra\u00edz(3) + 1)\/(3 \u2013 1) = ra\u00edz(3) + 1. Otra forma de ver que ambos resultados son iguales es reduci\u00e9ndolos al mismo denominador, donde vemos que sale el mismo numerador tambi\u00e9n.<\/p>\n<p>En general, poniendo cualquier n\u00famero como n\u00famero inicial funciona, incluso se puede hacer en general.<\/p>\n<p>Para tres n\u00fameros podemos intentar el mismo proceso, pero hay que elegir cuidadosamente los n\u00fameros. Por ejemplo, si usamos 2 y 2 como dos n\u00fameros iniciales (una de las claves es que se puede repetir), la ecuaci\u00f3n queda 4x = 1\/x, de donde obtenemos un valor x = 1\/2 de forma muy sencilla. Est\u00e1 claro que 2\u00b72\u00b71\/2 = (-1)\u00b7(-1)\u00b71\/(-1\/2).<\/p>\n<p>Y a partir de aqu\u00ed, tenemos una manera de acelerar mucho el proceso, ya que podemos encontrar cuatro n\u00fameros sencillamente repitiendo los dos primeros (si funciona con dos, funciona con cuatro), y cinco repitiendo los dos primeros y los tres segundos, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n<p>Por tanto, por inducci\u00f3n, si suponemos que n &gt; 3, puesto que existe una cadena de n \u2013 2, a\u00f1adimos a \u00e9sta los dos que hemos encontrado en el paso n = 2. Y as\u00ed se prueba la existencia de una sucesi\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Demuestra que para todo n \u2265 2 podemos encontrar n n\u00fameros reales x1, x2, \u2026, xn \u2260 1 de manera que los productos x1\u00b7x2\u00b7&#8230;\u00b7xn y (1\/(1 \u2013 x1))\u00b7(1\/(1 \u2013 x2))\u00b7&#8230;\u00b7(1\/(1 \u2013 xn)) son iguales. 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