{"id":1048,"date":"2019-02-23T07:34:05","date_gmt":"2019-02-23T07:34:05","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1048"},"modified":"2019-02-23T07:34:05","modified_gmt":"2019-02-23T07:34:05","slug":"solucion-a-triangulo-espejo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/02\/23\/solucion-a-triangulo-espejo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a tri\u00e1ngulo espejo"},"content":{"rendered":"
Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
El trapecio is\u00f3sceles ABCD tiene lados paralelos AB<\/span> y CD<\/span>. Sabemos que AB<\/span> = 6, AD<\/span> = 5 y el \u00e1ngulo DAB = 60\u00ba. Se lanza un rayo de luz desde A que rebota en CB<\/span> en el punto E e interseca en AD<\/span> en el punto F. Si AF = 3, calcula el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo AFE.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nNo es f\u00e1cil dibujar este tipo de situaciones, aunque abundan en los planteamientos de problemas. Para dibujar una reflexi\u00f3n o un rebote, es conveniente pensar que el rayo reflejado sigue recto al otro lado del espejo, o que la bola que rebota sigue recto, continuando por una figura sim\u00e9trica a la original a lo largo de esa l\u00ednea.<\/p>\n
Por eso, como pod\u00e9is ver en la animaci\u00f3n que acompa\u00f1a a este art\u00edculo, la forma de dibujarlo es hacer una simetr\u00eda del trapecio, y trazar una l\u00ednea recta, y luego trazar la l\u00ednea que sigue el verdadero reflejo.<\/p>\n
El caso es que una vez que tenemos la imagen clara dibujada, pensar en \u00e1ngulos. Puesto que tenemos \u00e1ngulos de 60\u00ba es sencillo completar el dibujo hasta rodearlo de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero, y se aprecia una gran semejanza entre los tri\u00e1ngulos ABE y FPE (claramente, tienen el mismo \u00e1ngulo en E, por reflexi\u00f3n, y en B y en P, por tratarse de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero).\"\"<\/p>\n
Como conocemos la distancia de AB, que vale 6, y podemos deducir la distancia FP (como la distancia AF es 3, FP vale 3 tambi\u00e9n), sabemos que la escala entre ambos tri\u00e1ngulos es 2. Llamando x a la distancia BE, e y a la distancia EP, tenemos que x = 2y, y x + y = 6, con lo que 3y = 6, es decir, y = 2, x = 4. As\u00ed que BE vale 4, y EP vale 2.<\/p>\n
Ahora estamos preparados para calcular el \u00e1rea de AEF, ya que ser\u00eda el \u00e1rea de todo el tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero menos la suma de las \u00e1reas de ABE y FPE.<\/p>\n
Para calcular el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero, podemos, por ejemplo, calcular su altura, dividi\u00e9ndolo en dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos iguales. Razonando por trigonometr\u00eda, su altura al cuadrado deber\u00e1 valer 36 \u2013 9 = 27. Es decir, que la altura debe valer ra\u00edz(27) = 3\u00b7ra\u00edz(3).<\/p>\n
El \u00e1rea del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero de lado 6 ser\u00e1 (6\u00b73\u00b7ra\u00edz(3))\/2 = 9\u00b7ra\u00edz(3).<\/p>\n
Ahora, en el tri\u00e1ngulo ABE tendr\u00e1 una base 6, pero puesto que contiene un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero de lado 4, su altura estar\u00e1 dividida por la escala 6\/4, es decir, que la altura valdr\u00e1 4\u00b73\u00b7ra\u00edz(3)\/6 = 2\u00b7ra\u00edz(3), y su \u00e1rea ser\u00e1 6\u00b72\u00b7ra\u00edz(3)\/2 = 6\u00b7ra\u00edz(3).<\/p>\n
Y el tri\u00e1ngulo FPE, si lo apoyamos sobre la base PE, que tiene 3 unidades, contiene una altura que coincide con la de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero de lado 2, que ser\u00e1 ra\u00edz(3), as\u00ed que su \u00e1rea ser\u00e1 3\u00b7ra\u00edz(3)\/2.<\/p>\n
Por tanto, la suma de \u00e1reas de ABE y FPE tendr\u00e1 un valor de 15\u00b7ra\u00edz(3)\/2, y si lo restamos de 9\u00b7ra\u00edz(3), tendremos que el \u00e1rea de AFE, que era lo que nos ped\u00edan, ser\u00e1 3\u00b7ra\u00edz(3)\/2.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 3 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os El trapecio is\u00f3sceles ABCD tiene lados paralelos AB y CD. Sabemos que AB = 6, AD = 5 y el \u00e1ngulo DAB = 60\u00ba. Se lanza un rayo de luz desde A que rebota […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,3303],"tags":[],"class_list":["post-1048","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1048","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1048"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1048\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1051,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1048\/revisions\/1051"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1048"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1048"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1048"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}