{"id":1057,"date":"2019-03-02T07:06:13","date_gmt":"2019-03-02T07:06:13","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1057"},"modified":"2019-03-03T08:19:45","modified_gmt":"2019-03-03T08:19:45","slug":"solucion-a-un-primo-en-un-triangulo-rectangulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/03\/02\/solucion-a-un-primo-en-un-triangulo-rectangulo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un primo en un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo"},"content":{"rendered":"
Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea p \u2265 3 un n\u00famero primo, y consideremos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo de cateto mayor p\u00b2 \u2013 1 y cateto menor 2p.<\/p>\n
Inscribimos en el tri\u00e1ngulo un semic\u00edrculo cuyo di\u00e1metro se apoya en el cateto mayor y es tangente a la hipotenusa y al cateto menor del tri\u00e1ngulo.<\/p>\n
Encuentra los valores de p para los cuales el radio del semic\u00edrculo es un n\u00famero entero.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
Calcular las medidas del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo es sencillo, ya que ( p\u00b2 \u2013 1)\u00b2 + (2p)\u00b2 = p\u2074 \u2013 2p\u00b2 + 1 + 4p\u00b2 = p\u2074 + 2p\u00b2 + 1 = (p\u00b2 + 1)\u00b2, as\u00ed que la hipotenusa mide p\u00b2 + 1.<\/p>\n
Podemos tomar un par de ejemplos para trabajar con el problema (el menor ser\u00eda p = 3, el tri\u00e1ngulo de lados 8, 6 y 10, y el siguiente, p = 5, con un tri\u00e1ngulo 10, 24 y 26).<\/p>\n
Si dibujamos radios donde la circunferencia toca con las diferentes partes del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, observamos que se puede construir dentro un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que comparte un \u00e1ngulo con el original, de forma que son semejantes.<\/p>\n
En el caso del tri\u00e1ngulo de lados 6, 8 y 10, los dos lados sencillos de calcular ser\u00edan r y 8 \u2013 r. La relaci\u00f3n de semejanza podr\u00eda ser (8 \u2013 r )\/ r = 10\/6, de donde se puede deducir que 10r = 48 \u2013 6r, es decir 16r = 48 y r = 3. Es decir, que en el caso en que p = 3, r = 3.<\/p>\n
En el de lados 10, 24 y 26, tendr\u00edamos que (24 \u2013 r)\/r = 26\/10, es decir, 240 \u2013 10r = 26r, por lo que 240 = 36r y r = 20\/3, no es un n\u00famero entero.<\/p>\n
En general, tenemos que (p\u00b2 \u2013 1 \u2013 r)\/r = (p\u00b2 + 1)\/2p, por lo que 2p(p\u00b2 \u2013 1) \u2013 2pr = (p\u00b2 + 1)r. Dejando a un lado de la igualdad aquellos t\u00e9rminos que llevan r, tendremos que 2p(p\u00b2 \u2013 1) = (p\u00b2 + 1)r + 2pr.<\/p>\n
Si sacamos factor com\u00fan r, tendremos 2p(p\u00b2 \u2013 1) = (p\u00b2 + 1+ 2p)r = (p + 1)\u00b2r.<\/p>\n
De esta forma, r = 2p(p\u00b2 \u2013 1)\/(p + 1)\u00b2. Factorizando p\u00b2 \u2013 1 = (p + 1)(p \u2013 1), y simplificando, r = 2p(p \u2013 1)\/(p + 1).
\nVamos a analizar en qu\u00e9 valores de p este n\u00famero puede ser entero. Si nos fijamos, p es un factor que no puede aparecer en la factorizaci\u00f3n de p + 1, por lo que depender\u00e1 de que se pueda simplificar 2(p \u2013 1)\/(p + 1). El factor 2 ser\u00e1 simplificable seguro, ya que p + 1 es par, pero puesto que (p \u2013 1)\/(p +1) es menor que 1, la mitad de p + 1 debe coincidir exactamente con p \u2013 1, cosa que s\u00f3lo sucede en p = 3 (a partir de este valor, (p + 1)\/ 2 es claramente mayor que p \u2013 1.<\/p>\n
Por lo tanto, el \u00fanico valor de p para el que el radio es entero es p = 3.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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