{"id":106,"date":"2017-08-18T09:44:42","date_gmt":"2017-08-18T09:44:42","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=106"},"modified":"2018-09-22T08:32:33","modified_gmt":"2018-09-22T08:32:33","slug":"cinco-circunferencias-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/08\/18\/cinco-circunferencias-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a cinco circunferencias"},"content":{"rendered":"<pre>Fase Comarcal de la Olimpiada Matem\u00e1tica de la Comunidad Valenciana 2016, nivel B\r\nSe dirige a una edad de: 15\/16<\/pre>\n<p>En el dibujo, podemos ver cinco circunferencias, una m\u00e1s grande que contiene a las otras, dos medianas y dos m\u00e1s peque\u00f1as. Todas son tangentes a tres o cuatro de las otras.<\/p>\n<p>Sabemos que el radio de las circunferencias medianas mide 1 metro. \u00bfCu\u00e1nto mide el radio de las peque\u00f1as?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-108\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/08\/6.cincocirc2.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/08\/6.cincocirc2.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/08\/6.cincocirc2-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><!--more--><br \/>\nEl primer paso para este tipo de problemas es trazar los radios de las circunferencias que llegan a los puntos de tangencia, para establecer relaciones entre ellas.<\/p>\n<p>A veces, no es necesario usar todos los radios, e incluso conviene borrar lineas para ver tri\u00e1ngulos interesantes. Muy frecuentemente, debemos buscar tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles formados por los radios (uniendo tambi\u00e9n los puntos de tangencia entre ellos), o tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos.<\/p>\n<p>Con todos estos segmentos dibujados, enseguida vemos varias relaciones, incluyendo un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que se dibuja dentro de las circunferencias. Sabemos que es rect\u00e1ngulo por la simetr\u00eda de la figura.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-109\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/08\/6.cincocirc3.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/08\/6.cincocirc3.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/08\/6.cincocirc3-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Observa que el radio de la grande medir\u00e1 2, claramente.<\/p>\n<p>Y el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, suponiendo que r es el radio que buscamos (el de la circunferencia peque\u00f1a), tendr\u00e1 los siguientes lados: la hipotenusa medir\u00e1 1 + r, un cateto medir\u00e1 1, y el otro medir\u00e1 2 \u2013 r.<\/p>\n<p>Aplicando el Teorema de Pit\u00e1goras, tendremos que (1 + r)<sup>2<\/sup> = 1 + (2 \u2013 r)<sup>2<\/sup>, y desarrollando la expresi\u00f3n, tenemos que 1 + 2r + r<sup>2<\/sup> = 1 + 4 \u2013 4r + r<sup>2<\/sup>, de donde tenemos que 6r = 4, por lo que el radio debe medir exactamente 2\/3, es decir, 66,7 cent\u00edmetros aproximadamente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Fase Comarcal de la Olimpiada Matem\u00e1tica de la Comunidad Valenciana 2016, nivel B Se dirige a una edad de: 15\/16 En el dibujo, podemos ver cinco circunferencias, una m\u00e1s grande que contiene a las otras, dos medianas y dos m\u00e1s peque\u00f1as. 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