{"id":1069,"date":"2019-03-09T07:12:50","date_gmt":"2019-03-09T07:12:50","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1069"},"modified":"2019-03-09T07:12:50","modified_gmt":"2019-03-09T07:12:50","slug":"solucion-a-expresion-compuesta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/03\/09\/solucion-a-expresion-compuesta\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a expresi\u00f3n compuesta"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>\u00bfExisten n y m naturales diferentes de cero de forma que el resultado de la expresi\u00f3n n\u00b2 + 2018nm + 2019m + n \u2013 2019m\u00b2 es un n\u00famero primo?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1062\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/83.Expresi\u00f3ncompuesta.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/83.Expresi\u00f3ncompuesta.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/83.Expresi\u00f3ncompuesta-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nPodemos intentar hacer varias cosas. La opci\u00f3n m\u00e1s habitual es tratar de factorizar la expresi\u00f3n para convertirla en un producto, y estudiar a partir de ah\u00ed las propiedades de esos factores. Otra opci\u00f3n es tratar de ver que el resultado siempre es par, y no puede valer 2.<\/p>\n<p>Para factorizar la expresi\u00f3n hay que recurrir a la factorizaci\u00f3n que solemos hacer de polinomios de segundo grado, pero ahora interpretando que se trata de un polinomio de segundo grado (en n), cuyos coeficientes tienen un par\u00e1metro m (o al rev\u00e9s).<\/p>\n<p>La idea es convertir n\u00b2 + 2018nm + 2019m + n \u2013 2019m\u00b2 en n\u00b2 + (2018m + 1)n + 2019m \u2013 2019m\u00b2. Para buscar las ra\u00edces, debemos calcular los valores de la f\u00f3rmula de la ecuaci\u00f3n de segundo grado.<\/p>\n<p>Empecemos con el discriminante, es decir, el valor en el interior de la ra\u00edz. El segundo coeficiente al cuadrado ser\u00e1 (2018m + 1)\u00b2 = 4072324m\u00b2 + 4036m + 1, y el producto de \u2013 4(2019m \u2013 2019m\u00b2) = \u2013 8076m + 8076m\u00b2, por lo que en total el discriminante quedar\u00eda 4080400m\u00b2 \u2013 4040m + 1. Ser\u00eda perfecto que fuese un cuadrado perfecto, \u00a1y as\u00ed es!<\/p>\n<p>Por tanto, el discriminante es el cuadrado de 2020m \u2013 1, por lo que una soluci\u00f3n ser\u00e1 (-2018m \u2013 1 + 2020m \u2013 1)\/2 = (2m \u2013 2)\/2 = m \u2013 1, mientras que la otra ser\u00e1 (-2018m \u2013 1 \u2013 2020m + 1)\/2 = -4038m\/2 = -2019m.<\/p>\n<p>Eso quiere decir que nuestro polinomio inicial es el producto de (n \u2013 m + 1)(n+2019m). Es sencillo comprobar ahora que ambas expresiones son iguales, por descartar errores durante el proceso.<\/p>\n<p>Ahora, vamos a ver si alguno de los dos factores puede ser 1, con lo que podr\u00eda darse el caso de que fuesen primos.<br \/>\nEl factor (n + 2019m) siempre es mayor que 1 (recuerda que ninguno de los dos puede ser 0). Sin embargo, (n \u2013 m + 1) s\u00ed puede ser 1 en el caso de que ambos valores n y m fuesen iguales, pero en ese caso (n + 2019m) = n(1 + 2019) = 2020n, que es un n\u00famero claramente compuesto.<\/p>\n<p>Por lo tanto, siempre que nuestra f\u00f3rmula produzca un n\u00famero positivo, obtendremos un n\u00famero compuesto.<\/p>\n<p>Nota: si n \u2013 m + 1 es -1, en ese caso m = n + 2, y (n + 2019m) = n + 2019n + 4038 = 2020n + 4038 = 2(1010n + 2019), que tambi\u00e9n es un n\u00famero compuesto. Aunque en ese hipot\u00e9tico caso, al ser un n\u00famero negativo, no ser\u00eda v\u00e1lido de todas formas como n\u00famero primo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os \u00bfExisten n y m naturales diferentes de cero de forma que el resultado de la expresi\u00f3n n\u00b2 + 2018nm + 2019m + n \u2013 2019m\u00b2 es un n\u00famero primo? 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