{"id":1082,"date":"2019-03-16T06:43:15","date_gmt":"2019-03-16T06:43:15","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1082"},"modified":"2019-03-16T06:43:15","modified_gmt":"2019-03-16T06:43:15","slug":"solucion-a-ecuacion-con-polinomios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/03\/16\/solucion-a-ecuacion-con-polinomios\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n con polinomios"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Fijamos un n\u00famero natural k mayor o igual que 1. Encuentra todos los polinomios P(x) que cumplan P(x<sup>k<\/sup>) \u2013 P(kx) = x<sup>k<\/sup>P(x).<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1076\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/84.Ecuacionconpolinomios.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/84.Ecuacionconpolinomios.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/84.Ecuacionconpolinomios-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<!--more--><\/p>\n<p>En estos casos, siempre es conveniente experimentar un poco con los valores peque\u00f1os.<\/p>\n<p>Si k = 1, la igualdad queda P(x) \u2013 P(x) = xP(x)., para cualquier x.<\/p>\n<p>Claro, que como 0 = xP(x), el \u00fanico polinomio que cumple esto es la constante 0. Es decir, P(x) = 0.<\/p>\n<p>Claro que esa soluci\u00f3n es v\u00e1lida para cualquier k, con lo cual, tenemos al menos una soluci\u00f3n independiente de k, y para k = 1 no existen m\u00e1s.<\/p>\n<p>Veamos qu\u00e9 pasa con k = 2. P(x\u00b2) \u2013 P(2x) = x\u00b2P(x).<\/p>\n<p>Supongamos, por ejemplo, que es un polinomio de grado 1, de la forma ax + b. La igualdad queda ax\u00b2 + b \u2013 ax \u2013 b = x\u00b2(ax + b) , por lo que ax\u00b2 \u2013 ax = ax\u00b3 + bx\u00b2. De nuevo, se tiene que dar para todo valor de x, de forma que a debe valer 0, porque no hay t\u00e9rminos de tercer grado (o de primero) al otro lado de la igualdad, y b tambi\u00e9n.<\/p>\n<p>Probemos ahora con un polinomio de grado 2: P(x) = ax\u00b2 + bx + c, luego ax\u2074 + bx\u00b2 + c \u2013 4ax\u00b2 \u2013 2bx \u2013 c = ax\u2074 + bx\u00b3 + cx\u00b2. De aqu\u00ed, tenemos que bx\u00b2 \u2013 4ax\u00b2 \u2013 2bx= bx\u00b3 + cx\u00b2, por lo que b debe valer 0 (mirando los t\u00e9rminos de tercer grado), pero mirando los t\u00e9rminos de segundo grado c = -4a, de forma que valen los polinomios de la forma ax\u00b2 \u2013 4a = a(x\u00b2 \u2013 4).<\/p>\n<p>Veamos a continuaci\u00f3n que si probamos con los polinomios de mayor grado, encontramos que se anulan todos los coeficientes.<\/p>\n<p>Observa con ax\u00b3 + bx\u00b2 + cx + d, en la igualdad queda un \u00fanico t\u00e9rmino x\u2076, con coeficiente a, luego a debe valer 0. Y como los polinomios menores ya sabemos lo que les pasa, s\u00f3lo tenemos las dos soluciones encontradas ahora.<\/p>\n<p>Supongamos que el grado del polinomio es n, mayor que 3 y que sabemos que no hay m\u00e1s soluciones para n \u2013 1. Por inducci\u00f3n, si a es el coeficiente de grado n, ax<sup>2n<\/sup> s\u00f3lo aparece en un extremo de la igualdad, en el otro el t\u00e9rmino de mayor grado es ax<sup>n + 2<\/sup>, y 2n es mayor que n + 2, por ser n mayor que 3. Luego a vale 0, por lo que las \u00fanicas soluciones para k = 2 son las descritas.<\/p>\n<p>Vale, ahora veamos qu\u00e9 sucede para valores de k mayores. En k = 3, la igualdad queda (por ejemplo, para segundo grado, fij\u00e1ndonos en el t\u00e9rmino mayor) ax\u2076 = 0, por lo que el coeficiente del t\u00e9rmino de segundo grado es 0. Y para primer grado, queda ax\u2074 = 0 (fij\u00e1ndonos en el t\u00e9rmino de la segunda parte de la igualdad). Los polinomios constantes ocasionan en la igualdad que el t\u00e9rmino de segundo grado sea ax\u00b2 = 0, es decir, que no puede haber soluciones (m\u00e1s all\u00e1 de la trivial, P(x) = 0) de grado menor que 2.<\/p>\n<p>Veamos, por inducci\u00f3n, que tampoco puede haber soluciones de grado mayor para k = 3. Si no hay soluciones de grado n, supongamos que tenemos un polinomio de grado n + 1 y coeficiente principal a. La igualdad que debe cumplir transforma el grado, y su t\u00e9rmino mayor en la primera parte de la igualdad ser\u00e1 ax<sup>3n + 3<\/sup>, mientras que en la segunda ser\u00e1 ax<sup>3 + n + 1<\/sup>. Si se trata de grados diferentes, eso supone que a = 0. Si son iguales, entonces 3n + 3 = 3 + n + 1, por lo que 3n = n + 1, lo cual es imposible, ya que implicar\u00eda que 2n = 1.<\/p>\n<p>Y esta situaci\u00f3n ya nos permite trabajar para k gen\u00e9rico. Supongamos que k es mayor que 3. Para grado 1, por ejemplo, la primera parte de la igualdad tendr\u00eda un t\u00e9rmino principal de ax<sup>k<\/sup>, mientras que la segunda parte tendr\u00eda un t\u00e9rmino de ax<sup>k + 1<\/sup>, por lo que implicar\u00eda que el t\u00e9rmino principal de primer grado del polinomio se anular\u00eda. Y si el polinomio fuese constante, la primera parte de la igualdad se anula totalmente, de forma que s\u00f3lo puede darse que el polinomio sea P(x) = 0.<\/p>\n<p>Y, para polinomios de grados mayores que 1, supongamos que no existen polinomios de grado n que cumplen la igualdad, y veamos que tampoco existen de grado n + 1.<\/p>\n<p>Si el grado es n + 1, el t\u00e9rmino de mayor grado de la primera parte de la igualdad ser\u00eda ax<sup>kn + k<\/sup>, mientras que el de grado mayor de la segunda parte ser\u00eda ax<sup>k + n + 1<\/sup>, y si uno es mayor que otro, entonces a = 0, y no existen por tanto polinomios de grado n + 1. Pero tampoco pueden ser del mismo grado, porque en ese caso kn + k = k + n + 1, es decir, kn \u2013 n = 1, con lo que (k \u2013 1)n = 1, lo cual es imposible pues n es entero y k \u2013 1 es mayor que 2.<br \/>\nEn conclusi\u00f3n, si k no vale 2, s\u00f3lo hay un polinomio que verifique la igualdad, P(x) = 0.<\/p>\n<p>Si k vale exactamente 2, entonces P(x) = a(x\u00b2 \u2013 4), para cualquier valor de a (lo que incluye el caso en que a vale 0).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Fijamos un n\u00famero natural k mayor o igual que 1. Encuentra todos los polinomios P(x) que cumplan P(xk) \u2013 P(kx) = xkP(x). Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1082","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1082","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1082"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1082\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1086,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1082\/revisions\/1086"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1082"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1082"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1082"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}