{"id":1103,"date":"2019-03-30T11:55:47","date_gmt":"2019-03-30T11:55:47","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1103"},"modified":"2019-03-30T11:55:47","modified_gmt":"2019-03-30T11:55:47","slug":"solucion-a-desigualdad-con-numeros-positivos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/03\/30\/solucion-a-desigualdad-con-numeros-positivos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a desigualdad con n\u00fameros positivos"},"content":{"rendered":"
Problema 2 del s\u00e1bado de la Fase Local de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Prueba que para todo a, b, c > 0 se cumple la siguiente desigualdad: a\u00b2\/(b\u00b3c) \u2013 a\/b\u00b2 \u2265 c\/b \u2013 c\u00b2\/a.<\/p>\n
\u00bfEn qu\u00e9 caso se cumple la igualdad?
\n\"\"Soluci\u00f3n:
\n<\/p>\n
En esta ocasi\u00f3n se trata de un problema eminentemente algebraico, en el que un tratamiento sencillo de factorizaci\u00f3n nos da una respuesta de forma relativamente breve.<\/p>\n
En otras desigualdades es imprescindible utilizar desigualdades que se conozcan previamente, como la desigualdad de las medias o cosas as\u00ed, pero en esta ocasi\u00f3n no es imprescindible.<\/p>\n
B\u00e1sicamente, consiste en reducir todas las fracciones a un mismo denominador, ab\u00b3c, de forma que la desigualdad es equivalente a (a\u00b3)\/(ab\u00b3c) \u2013 (a\u00b2bc)\/(ab\u00b3c) >= (ab\u00b2c\u00b2)\/(ab\u00b3c) \u2013 (b\u00b3c\u00b3)\/(ab\u00b3c).<\/p>\n
Puesto que el n\u00famero ab\u00b3c es positivo, multiplicar ambos n\u00fameros por \u00e9l mantiene la desigualdad, de forma que esta desigualdad es equivalente a a\u00b3 \u2013 a\u00b2bc >= ab\u00b2c\u00b2 \u2013 b\u00b3c\u00b3.<\/p>\n
Ahora bien, si sumamos o restamos la misma cantidad a dos valores, tambi\u00e9n mantienen la desigualdad que tengan, de forma que esta expresi\u00f3n es equivalente a a\u00b3 \u2013 a\u00b2bc \u2013 ab\u00b2c\u00b2 + b\u00b3c\u00b3 >= 0.<\/p>\n
Para factorizar esa expresi\u00f3n, podemos extraer el factor a\u00b2 a los dos primeros sumandos, y b\u00b2c\u00b2 a los dos siguientes, de forma que queda la desigualdad  a\u00b2(a \u2013 bc) + b\u00b2c\u00b2(-a + bc) >= 0.<\/p>\n
Si nos fijamos bien, las expresiones a \u2013 bc y -a + bc en realidad son opuestas, de forma que podemos extraer estas expresiones factor com\u00fan, as\u00ed que quedar\u00eda  (a \u2013 bc)(a\u00b2 \u2013 b\u00b2c\u00b2) >= 0.<\/p>\n
Aplicando la propiedad de que una diferencia de cuadrados es igual a un producto de la suma por la diferencia, esa expresi\u00f3n quedar\u00eda (a \u2013 bc)(a \u2013 bc)(a + bc) >= 0.<\/p>\n
Por \u00faltimo, es evidente que esa expresi\u00f3n es positiva, ya que el factor (a \u2013 bc) aparece multiplicado por s\u00ed mismo, y el factor (a + bc) es positivo por serlo los tres n\u00fameros.<\/p>\n
Siguiendo el razonamiento paso a paso, por tanto, se da la desigualdad requerida, y s\u00f3lo puede darse la igualdad si a = bc, ya que en ese caso el producto vale cero, lo que corresponde a la \u00faltima pregunta del problema.<\/p>\n
Otra manera de resolver el problema es realizar un cambio de variable. Si nos fijamos bien, s\u00f3lo hay un t\u00e9rmino de la desigualdad que no contiene el factor a, c\/b. Si dividimos por esa expresi\u00f3n toda la desigualdad (que la transforma en una desigualdad equivalente, por ser c\/b un n\u00famero positivo), queda  a\u00b2\/(b\u00b2c\u00b2) \u2013 a\/cb >= 1 \u2013 cb\/a, que s\u00f3lo depende de a\/cb.<\/p>\n
Es decir, que si cambiamos a\/cb por x, donde x es un n\u00famero positivo, la desigualdad se transforma en x\u00b2 \u2013 x >= 1 \u2013 1\/x, que s\u00f3lo depende de este n\u00famero.<\/p>\n
Si multiplicamos ahora por x, tenemos la desigualdad polin\u00f3mica  x\u00b3 \u2013 x\u00b2 >= x \u2013 1, que es posible estudiarla de varias formas (factoriz\u00e1ndola, o buscando el valor m\u00ednimo del polinomio diferencia entre las dos expresiones).<\/p>\n
Una vez que tenemos que el valor m\u00ednimo se obtiene en x = 1 y que vale 0, tenemos que la igualdad s\u00f3lo se da cuando x = 1, es decir, cuando a = bc.<\/p>\n
Otro cambio, propuesto por el colaborador de esta p\u00e1gina Javier Nistal, es hacer el cambio cb = x, y solucionarlo entonces como una inecuaci\u00f3n de segundo grado con par\u00e1metro a. Efectivamente, queda al final que la desigualdad s\u00f3lo se alcanza si cb = x = a.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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