{"id":1115,"date":"2019-04-06T20:54:00","date_gmt":"2019-04-06T20:54:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1115"},"modified":"2019-04-06T20:54:00","modified_gmt":"2019-04-06T20:54:00","slug":"solucion-a-un-triangulo-con-120-grados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/04\/06\/solucion-a-un-triangulo-con-120-grados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un tri\u00e1ngulo con 120 grados"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 3 del s\u00e1bado de la Fase Local de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Consideramos un tri\u00e1ngulo ABC y un punto D en el lado AC.<\/p>\n<p>Si la longitud de AB y de DC es 1, el \u00e1ngulo DBC es de 30\u00ba, y ABD es de 90\u00ba, calcula la longitud de AD.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1110\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/87.Untriangulocon120.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/87.Untriangulocon120.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/03\/87.Untriangulocon120-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<!--more--><\/p>\n<p>Puesto que tenemos un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, es bastante sencillo plantearnos c\u00f3mo ser\u00edan las relaciones trigonom\u00e9tricas en \u00e9l, de forma que podamos aplicarlas a los diferentes tri\u00e1ngulos que salgan en el dibujo.<\/p>\n<p>Supongamos que la longitud a calcular, la de AD, es x. Como es la hipotenusa del tri\u00e1ngulo ABD, visto desde el \u00e1ngulo DAB, el coseno de ese \u00e1ngulo es 1\/x.<\/p>\n<p>Aplicando el teorema del coseno al tri\u00e1ngulo ABC (si a\u00fan no conoces el teorema del coseno, tambi\u00e9n se puede conseguir un efecto similar dividiendo el lado AC por la altura y eliminando en las igualdades por pit\u00e1goras las variables internas al tri\u00e1ngulo, pero es m\u00e1s costoso), llegamos a que z\u00b2 = (x + 1)\u00b2 + 1\u00b2 \u2013 2(x + 1)1\u00b71\/x = x\u00b2 + 2x + 2 \u2013 (2x + 2)\/x, donde z es la longitud de BC.<\/p>\n<p>Por otra parte, si nos fijamos en el \u00e1ngulo BDA, es 90 \u2013 DAB, y por tanto el \u00e1ngulo BDC es 90 + DAB. Al ser un \u00e1ngulo perpendicular a DAB, su seno es el coseno de DAB, de nuevo 1\/x. Aplicando ahora al tri\u00e1ngulo BDC el teorema del seno (si no lo has visto, sencillamente proviene de dividir de nuevo el tri\u00e1ngulo en dos por la altura y comparar la altura vista desde ambos \u00e1ngulos), tendremos que z\/sen(BDC) = 1\/sen(30), de forma que zx = 2. De aqu\u00ed, obtenemos que z= 2\/x.<\/p>\n<p>Sustituyendo z en la ecuaci\u00f3n primera que hemos obtenido, tenemos la igualdad 4\/x\u00b2 = x\u00b2 + 2x + 2 \u2013 (2x + 2)\/x. Si eliminamos denominadores y par\u00e9ntesis, queda 4 = x\u2074 + 2x\u00b3 + 2x\u00b2 \u2013 2x\u00b2 \u2013 2x. Anulando una de los extremos a cero, tenemos que 0 = x\u2074 + 2x\u00b3 \u2013 2x \u2013 4.<\/p>\n<p>Para buscar las posibles soluciones de esa ecuaci\u00f3n de cuarto grado, podemos tratar de encontrar una factorizaci\u00f3n tanteando mediante Rufini con divisores de 8 (o sacando factor com\u00fan por t\u00e9rminos de grado similar, hasta ver que x + 2 es factor com\u00fan), logrando ver que 0 = (x + 2)(x\u00b3 \u2013 2) es equivalente al polinomio. Puesto que es imposible que x sea negativo, s\u00f3lo puede ser que x\u00b3 sea 2, es decir, que x = 2^(1\/3) (ra\u00edz c\u00fabica de 2).<\/p>\n<p>Este resultado es sorprendente, pues aparece una ra\u00edz c\u00fabica en una construcci\u00f3n geom\u00e9trica. Lamentablemente, es una construcci\u00f3n imposible de hacer con regla y comp\u00e1s exclusivamente, como se demostr\u00f3 hace ya muchos a\u00f1os, pues la ra\u00edz c\u00fabica de 2 no es construible.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 3 del s\u00e1bado de la Fase Local de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Consideramos un tri\u00e1ngulo ABC y un punto D en el lado AC. 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