{"id":1163,"date":"2019-05-11T09:57:05","date_gmt":"2019-05-11T09:57:05","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1163"},"modified":"2019-05-11T09:57:05","modified_gmt":"2019-05-11T09:57:05","slug":"solucion-a-numeros-orensanos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/05\/11\/solucion-a-numeros-orensanos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros orensanos"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Un conjunto de n\u00fameros enteros T es orensano si existen tres n\u00fameros, llamados a, b y c, a &lt; b &lt; c, tales que a y c pertenecen a T y b no pertenece a T.<\/p>\n<p>Hallar el n\u00famero de subconjuntos T de {1, 2, \u2026 , 2019} que son orensanos.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1156\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/04\/92.Numerosorensanos.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/04\/92.Numerosorensanos.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/04\/92.Numerosorensanos-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEn este caso, la soluci\u00f3n es una colaboraci\u00f3n de Javier Nistal, medalla de plata en la Fase Nacional y primer clasificado en la Fase Local de la Universidad de Alicante.<\/p>\n<p>Un conjunto no es orensano si y s\u00f3lo si todos sus elementos son consecutivos.<\/p>\n<p>Sea A el conjunto de todos los subconjuntos de {1, 2, &#8230;, 2019}.<\/p>\n<p>Sea B el conjunto de los conjuntos no orensanos (de {1, 2, &#8230;, 2019}) .<\/p>\n<p>Sea C el conjunto de los conjuntos orensanos (de {1, 2, &#8230;, 2019}).<\/p>\n<p>Tenemos que B y C son disjuntos y que su uni\u00f3n es A, por lo que |C| = |A| &#8211; |B|.<\/p>\n<p>Cada elemento de A se puede representar como 2019 cifras en binario, seg\u00fan que el n\u00famero que ocupa una posici\u00f3n determinada en el conjunto {1, 2, &#8230;, 2019} est\u00e9 incluido o no en ese elemento en concreto. Adem\u00e1s, cada uno se representa de forma \u00fanica y cualquier representaci\u00f3n corresponde a un elemento de A, por lo que |A| es igual a la cantidad de n\u00fameros de 2019 cifras en binario, 2<sup>2019<\/sup>.<\/p>\n<p>Si llamamos B<sub>n<\/sub> al conjunto de elementos de B compuestos de exactamente n n\u00fameros, est\u00e1 claro que |B<sub>0<\/sub>| = 1, ya que s\u00f3lo es el conjunto vac\u00edo, mientras que |B<sub>n<\/sub>| = 2020 \u2013 n para todo n entre 1 y 2019 (n\u00famero de sucesiones de n elementos consecutivos). Como la uni\u00f3n de todos ellos forma el conjunto B, y son disjuntos, est\u00e1 claro que |B| = |B<sub>0<\/sub>| + |B<sub>1<\/sub>| + |B<sub>2<\/sub>| + &#8230; + |B<sub>2019<\/sub>| = 1 + 2019 + 2018 + &#8230; + 1 = 1 + 2020\u00b72019\/2 = 2039191.<\/p>\n<p>Concluimos por tanto que la cantidad de conjuntos orensanos es 2<sup>2019<\/sup> &#8211;  2039191.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Un conjunto de n\u00fameros enteros T es orensano si existen tres n\u00fameros, llamados a, b y c, a &lt; b &lt; c, tales que a y c pertenecen a T y b no pertenece [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1163","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1163","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1163"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1163\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1164,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1163\/revisions\/1164"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1163"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1163"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1163"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}