{"id":1181,"date":"2019-05-25T06:39:28","date_gmt":"2019-05-25T06:39:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1181"},"modified":"2019-05-25T06:39:57","modified_gmt":"2019-05-25T06:39:57","slug":"solucion-a-los-digitos-de-joan","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/05\/25\/solucion-a-los-digitos-de-joan\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a los d\u00edgitos de Joan"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Joan elige 3 d\u00edgitos y despu\u00e9s de hacer todas las permutaciones posibles obtiene 6 n\u00fameros diferentes de 3 cifras cada uno.<\/p>\n<p>Si exactamente uno de los seis es un cuadrado perfecto, y exactamente tres de los seis son n\u00fameros primos, \u00bfcu\u00e1les son los d\u00edgitos que ha escogido Joan?<\/p>\n<p>Indica cu\u00e1les son los seis n\u00fameros formados por los tres d\u00edgitos.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1176\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/05\/94.LosdigitosdeJoan.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/05\/94.LosdigitosdeJoan.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/05\/94.LosdigitosdeJoan-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nNo es un problema dif\u00edcil, se trata de ir eliminando situaciones que no coinciden con los criterios.<\/p>\n<p>En primer lugar, deben ser los tres diferentes, porque si no, no saldr\u00edan seis n\u00fameros distintos al permutarlos.<\/p>\n<p>Ninguno debe ser 0, porque los seis son n\u00fameros de tres cifras.<\/p>\n<p>Aunque admiti\u00e9semos el 0 como primera cifra de un n\u00famero de 3, es un n\u00famero par, y todos los cuadrados de dos cifras ser\u00edan eliminados por alguno de los dos criterios siguientes que veremos.<\/p>\n<p>Hay menos cuadrados que n\u00fameros primos, as\u00ed que debemos explorar entre los cuadrados.<\/p>\n<p>Los cuadrados que tienen cifras repetidas no valen (100, 121, 144, 225, 400, 441, 484, 676 y 900).<\/p>\n<p>Como tiene que tener 3 primos entre las permutaciones no puede tener dos n\u00fameros pares, o un par y un 5, porque todos los n\u00fameros de tres cifras que acaban en cifra par o en 5 no son primos. Eliminamos entonces 256, 289, 324, 529, 576, 625, 784 y 841).<\/p>\n<p>Entre los que quedan, hay que descartar estudiando en detalle si tienen o no tres primos y un \u00fanico cuadrado.<\/p>\n<p>Eliminamos a la vez 169, 196 y 961, porque habr\u00eda tres cuadrados (los de 13, 14 y 31).<\/p>\n<p>El 19\u00b2, 361, es un buen candidato, ya que las dem\u00e1s combinaciones no son cuadrados, los n\u00fameros 136 y 316 son claramente compuestos, y 163, 613 y 631 son primos.<\/p>\n<p>El 27\u00b2, 729, no es v\u00e1lido, porque, al sumar m\u00faltiplo de 3 sus cifras, todas las permutaciones son divisibles por 3.<\/p>\n<p>Por tanto s\u00f3lo hay una \u00fanica posible respuesta, Joan eligi\u00f3 el 1, el 3 y el 6, que forman las permutaciones 136, 163 (primo), 316, 361 (cuadrado de 19), 613 (primo), y 631 (primo).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os Joan elige 3 d\u00edgitos y despu\u00e9s de hacer todas las permutaciones posibles obtiene 6 n\u00fameros diferentes de 3 cifras cada uno. 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