{"id":1199,"date":"2019-06-08T09:27:42","date_gmt":"2019-06-08T09:27:42","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1199"},"modified":"2019-06-08T09:27:42","modified_gmt":"2019-06-08T09:27:42","slug":"solucion-a-ecuacion-diofantica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/06\/08\/solucion-a-ecuacion-diofantica\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica"},"content":{"rendered":"
Problema 4 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Calcular todos los pares de enteros (x, y) que cumplen la siguiente igualdad: 3\u2074\u00b72\u00b3 (x\u00b2 + y\u00b2) = x\u00b3\u00b7y\u00b3.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEn primer lugar, puesto que el primer t\u00e9rmino es claramente m\u00faltiplo de 3, el segundo tambi\u00e9n lo es, por lo que uno de los dos factores diferentes, x o y, es m\u00faltiplo de 3.<\/p>\n
Pero el otro tambi\u00e9n debe serlo, porque en caso contrario, x\u00b2 + y\u00b2 no ser\u00eda m\u00faltiplo de 3, y la cantidad de factores primos 3 que aparecer\u00edan en el producto no ser\u00eda m\u00faltiplo de 3 (habr\u00eda s\u00f3lo 4), mientras que se trata de un producto de dos cubos, y todos los factores primos estar\u00e1n en una cantidad m\u00faltiplo de 3.<\/p>\n
Por lo tanto, x = 3a, e y = 3b, por lo que la expresi\u00f3n 3\u2074\u00b72\u00b3 (x\u00b2 + y\u00b2) = 3\u2074\u00b72\u00b3 (9a\u00b2 + 9b\u00b2) = 3\u2076\u00b72\u00b3 (a\u00b2 + b\u00b2), y la expresi\u00f3n x\u00b3\u00b7y\u00b3 = 3\u2076a\u00b3\u00b7b\u00b3.<\/p>\n
Entonces la igualdad queda 2\u00b3(a\u00b2 + b\u00b2) = a\u00b3\u00b7b\u00b3.<\/p>\n
A partir de aqu\u00ed, sabemos que al menos uno de los dos debe ser par, pero el razonamiento en t\u00e9rminos de par o impar no es sencillo, aunque se puede hacer.<\/p>\n
Puesto que el primer t\u00e9rmino es mayor o igual que 0, sabemos que a y b tienen que tener el mismo signo (ambos negativos, o ambos positivos). Un cambio de signo dar\u00e1 soluciones de otro signo, as\u00ed que podemos suponer que ambos son positivos (o nulos), y deducir las soluciones con n\u00fameros negativos.<\/p>\n
Puesto que ambos n\u00fameros juegan el mismo papel en la expresi\u00f3n, podemos suponer que a es mayor o igual que b, sin p\u00e9rdida de generalidad, y en ese caso, 16a\u00b2 >= 8(a\u00b2 + b\u00b2) = a\u00b3\u00b7b\u00b3, es decir, 16a\u00b2 >= a\u00b3\u00b7b\u00b3, y simplificando a\u00b2 (si es distinto de 0), tenemos que 16 >= ab\u00b2. Es decir, que los valores quedan acotados.<\/p>\n
En caso de que b = 0, resulta que a = 0 y tenemos una soluci\u00f3n (es muy sencillo ver que si uno de los dos es 0, ambos deben ser 0).<\/p>\n
Si tenemos que b = 1, entonces 8(a\u00b2 + 1) = a\u00b3, ecuaci\u00f3n que no tiene ninguna soluci\u00f3n entera positiva (sabemos que las soluciones deber\u00edan ser 1, 2, 4, 8, y no valen).<\/p>\n
Si b = 2, tenemos que  8(a\u00b2 + 4) = 8a\u00b3, es decir, a\u00b2 + 4 = a\u00b3, que tiene s\u00f3lo la soluci\u00f3n a = 2.<\/p>\n
Y si b es mayor que 2, ab\u00b2 es mayor o igual que 27 (recuerda que a es mayor o igual que b), por lo que tampoco es posible.<\/p>\n
As\u00ed, las soluciones son tres. La primera es que x = y = 0, la segunda, que x = y = 6 y la tercera, que x = y = -6.<\/p>\n
Nuestro colaborador Javier Nistal nos env\u00eda una variante. <\/p>\n
Una vez que llegamos a que  2\u00b3(a\u00b2 + b\u00b2) = a\u00b3\u00b7b\u00b3,  uno de los dos est\u00e1 claro que es par, ya que el producto es m\u00faltiplo de 2, y por simetr\u00eda, podemos suponer que a = 2c, por lo que queda 4c\u00b2 + b\u00b2 = c\u00b3b\u00b3.<\/p>\n
Si c = 0, entonces claramente b = 0. En caso contrario, tenemos que, dividiendo por c, 4 + (b\/c)\u00b2 = cb\u00b2, por lo que claramente c divide a b.<\/p>\n
Por tanto, b = ck, y como ambos tienen que tener el mismo signo, k > 0. Y 4 + k\u00b2 = c\u2074k\u00b3.<\/p>\n
Y, por tanto, (2\/k)\u00b2 + 1 = c\u2074k, por lo que k divide a 2. As\u00ed que es 1 o 2.<\/p>\n
Si k = 1, queda 5 = c\u2074, que no tiene soluci\u00f3n.<\/p>\n
Si k = 2, entonces 1 + 1 = 2c\u2074, que s\u00f3lo tiene soluciones c = 1 y c = -1.<\/p>\n
Esos dos casos nos llevan a que a = b = 2 o bien a = b = -2, lo que a su vez implica que x = y = 6, o bien x = y = -6.<\/p>\n
Por lo que tenemos las tres soluciones dichas anteriormente, (0, 0), (6, 6) y (-6, -6) \u00fanicamente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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