Consideramos todos los n\u00fameros de 7 d\u00edgitos que se obtienen permutando de todas las maneras posibles los d\u00edgitos de 1234567.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1ntos de ellos son divisibles entre 7?![\"\"](\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/06\/97.Permutandodigitos.png\")
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEste problema es tal vez uno de las m\u00e1s dif\u00edciles de solucionar que encontr\u00e9 ese a\u00f1o.<\/p>\n
Puesto que no hay un criterio claro para abordar la divisibilidad por 7 a trav\u00e9s de las cifras, o de su posici\u00f3n, debemos trabajar a partir de una estrategia que nos permita estudiar esta divisibilidad y c\u00f3mo se altera cuando cambiamos una cifra por otra.<\/p>\n
He visto la soluci\u00f3n oficial, y la expondr\u00e9 m\u00e1s abajo, pero me parece muy raro que alguien descubriera un camino que llevara directo a esa soluci\u00f3n.<\/p>\n
La clave es encontrar una manera de saber de forma m\u00e1s o menos sencilla c\u00f3mo recorrer todas las permutaciones de forma que conservemos cierta informaci\u00f3n sobre su resto al dividir por 7.<\/p>\n
Voy a contar mi primer intento, que se revel\u00f3 infructuoso.<\/p>\n
Cuando cambias una cifra por otra en un n\u00famero, la diferencia entre el n\u00famero antes y despu\u00e9s de cambiarlo es un m\u00faltiplo de 9 si son cifras consecutivas, de 99 si son cifras separadas por una posici\u00f3n, 999 si las separan dos posiciones, 9999 si la separaci\u00f3n es de 3, y as\u00ed sucesivamente (podemos encontrar una f\u00f3rmula que nos diga que es un m\u00faltiplo de 10^n \u2013 1).<\/p>\n
Exactamente, si cambiamos una cifra por otra, y la diferencia entre una posici\u00f3n y otra es n, y la diferencia entre una cifra y otra es m, la diferencia entre los dos n\u00fameros resultantes ser\u00e1 m\u00b7(10^n \u2013 1).<\/p>\n
Ahora, podemos estudiar los restos que producen 9, 99, 999, … , 999999 con respecto a 7.<\/p>\n
Exactamente ser\u00e1n 2, 1, 5, 3, 4, 0. Ese \u00faltimo resultado estropea el intento, ya que va a producir dos restos repetidos (por ejemplo, si cambiamos la posici\u00f3n del 7 en el n\u00famero 1234567 por todas las posiciones posibles, obtenemos 1234576, 1234765, 1237564, 1274563, 1734562 y 7234561, y el original y el \u00faltimo tienen el mismo resto, 5, ya que la diferencia entre ellos es 99999\u00b76, que es m\u00faltiplo de 7. (Adem\u00e1s de que, aunque los otros dos cambios modifican los restos siempre con respecto al primero, tambi\u00e9n en algunos casos lo pueden transformar en el mismo, como el caso de la primera transformaci\u00f3n y la segunda, en la que ambos tienen el resto 0). Por lo tanto, este sistema de clasificaci\u00f3n no es v\u00e1lido para saber si s\u00f3lo uno de ellos es divisible por 7.<\/p>\n
El segundo intento fue cambiar un n\u00famero por el “siguiente”, es decir, producir a partir del n\u00famero 1234567 los n\u00fameros 2134567, 1324567, 1243567, 1235467, 1234657, 1234576 y, claro, 7234561. De nuevo la cosa no acaba bien, ya que no es sencillo relacionarlos y de nuevo vuelve a aparecer un resto repetido (el de cambiar el original por el \u00faltimo), o puede que varios, ya que en este caso primero y sexto resultan ser m\u00faltiplos ambos de 7.<\/p>\n
La clave, que en esta ocasi\u00f3n he de reconocer que no descubr\u00ed por m\u00ed mismo, si no que la le\u00ed en la soluci\u00f3n oficial, es permutar todas las cifras del n\u00famero manteniendo su posici\u00f3n y variando la cifra, es decir, a partir del n\u00famero 1234567, obtener los n\u00fameros 2345671, 3456712 , 4567123, 5671234, 6712345, y 7123456. Si nos fijamos, los restos en esta ocasi\u00f3n s\u00ed ser\u00e1n diferentes, ya que el del original es 5, el primero es 6, el siguiente es m\u00faltiplo de 7, el siguiente es 1, el siguiente es 2, el siguiente es 3 y el \u00faltimo tiene resto 4.<\/p>\n
\u00bfPor qu\u00e9 se produce esta situaci\u00f3n? En realidad es suficiente ver que lo que estamos haciendo es sumar 1 a cada n\u00famero, as\u00ed lo transformamos en el siguiente. El problema es que el 7 lo transformamos en un 8, en lugar de en un 1. Y por \u00faltimo, a este n\u00famero le restamos 7.<\/p>\n
Es decir, que al n\u00famero original le sumamos 1111111, y despu\u00e9s le restamos una cantidad que es m\u00faltiplo seguro de 7 (ser\u00e1 7, 70, 700, u otro m\u00faltiplo de 7 y de una potencia de 10), es decir, que no va a afectar esa \u00faltima resta al resto al dividir por 7. Y, como el resto de dividir 1111111 entre 7 es exactamente 1, lo que va a pasar es que los siete restos de cada familia ser\u00e1n diferentes.<\/p>\n
Y por lo tanto, de cada 7 permutaciones, una de ellas ser\u00e1 m\u00faltiplo de 7 y las dem\u00e1s no.<\/p>\n
Una vez que esto est\u00e1 claro, ya podemos hacer el c\u00e1lculo final. Puesto que las permutaciones de los 7 n\u00fameros ser\u00e1n un total de 7\u00b76\u00b75\u00b74\u00b73\u00b72\u00b71 = 7!, la cantidad de ellos que ser\u00e1n m\u00faltiplos de 7 ser\u00e1n exactamente una s\u00e9ptima parte, es decir, 6\u00b75\u00b74\u00b73\u00b72\u00b71 = 720.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 4 del segundo nivel de la XXIII Olimpiada de Mayo (2017) Se dirige a una edad de: 14 a\u00f1os Consideramos todos los n\u00fameros de 7 d\u00edgitos que se obtienen permutando de todas las maneras posibles los d\u00edgitos de 1234567. \u00bfCu\u00e1ntos de ellos son divisibles entre 7? Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242018,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1208","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-de-mayo","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1208","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1208"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1208\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1210,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1208\/revisions\/1210"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1208"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1208"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1208"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}