{"id":1215,"date":"2019-06-18T20:50:52","date_gmt":"2019-06-18T20:50:52","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1215"},"modified":"2019-07-22T09:59:02","modified_gmt":"2019-07-22T09:59:02","slug":"una-incursion-al-bello-mundo-de-los-numeros-complejos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/06\/18\/una-incursion-al-bello-mundo-de-los-numeros-complejos\/","title":{"rendered":"Una incursi\u00f3n al bello mundo de los n\u00fameros complejos"},"content":{"rendered":"

No cabe duda que los n\u00fameros complejos<\/strong> juegan un importante papel en muchas \u00e1reas de las matem\u00e1ticas y f\u00edsica te\u00f3rica. Pero, \u00bfqu\u00e9 son realmente los n\u00fameros complejos? \u00bfc\u00f3mo surgieron?<\/p>\n

Comencemos por el concepto de unidad imaginaria<\/em>, denotada por i<\/em>, que se define a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n i^2=-1<\/em><\/span>. A partir de i<\/em> y de los n\u00fameros reales, los n\u00fameros imaginarios<\/em> aparecen como multiplicaciones de la propia unidad imaginaria por un n\u00famero real… esto nos recuerda a la definici\u00f3n de los n\u00fameros enteros negativos<\/em> en los que los n\u00fameros naturales<\/em> son multiplicados por -1<\/em>.<\/p>\n

En relaci\u00f3n a ello, para el siguiente razonamiento intuitivo tomemos por convenio que los n\u00fameros positivos son los que miran al norte y los negativos los que miran al sur. Mientras que \u00fanicamente en la recta real nos podemos mover hacia el norte o hacia el sur (a trav\u00e9s del -1<\/em>), de forma m\u00e1s general la multiplicaci\u00f3n por la unidad imaginaria i nos proporciona otras posibilidades. En efecto, si nos situamos mirando hacia el norte, la multiplicaci\u00f3n por i<\/em> nos repercute en un giro de derechas hacia el este (por ejemplo, del n\u00famero positivo 1<\/em> pasamos a la unidad imaginaria i<\/em>). Una nueva multiplicaci\u00f3n por i<\/em> nos lleva ahora hacia el sur, cuya unidad es -1<\/em>. De esta manera, i\u2219i=i^2=-1<\/em>, con lo que i<\/em> viene tambi\u00e9n a hacer el papel de \u221a(-1)<\/em>, proporcionando una definici\u00f3n plausible de la unidad imaginaria. Continuando con este proceso, si multiplic\u00e1semos de nuevo por i<\/em> llegar\u00edamos a la unidad del oeste, es decir, i^3=-i<\/em>, y una nueva multiplicaci\u00f3n por i<\/em> nos devolver\u00eda al norte, i^4=1<\/em>. En definitiva, con la introducci\u00f3n de la unidad imaginaria hemos pasado de la dicotom\u00eda sur-norte de la recta real al descubrimiento de los otros dos puntos cardinales este-oeste. Esto podr\u00eda ser generalizado a\u00fan m\u00e1s estableciendo otras direcciones en nuestra particular br\u00fajula.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

El caso es que a trav\u00e9s de los n\u00fameros reales e imaginarios podemos resolver cualquier ecuaci\u00f3n puramente cuadr\u00e1tica, del tipo x^2=a<\/em>, con a<\/em> un n\u00famero real. Ahora, si pensamos en el hecho que un n\u00famero complejo<\/em> se define como la suma de un n\u00famero real y un n\u00famero imaginario, el teorema fundamental del \u00e1lgebra<\/em> nos lleva al potente resultado consistente en afirmar que cualquier ecuaci\u00f3n algebraica de grado n,<\/em> con coeficientes complejos, presenta n<\/em> soluciones complejas (teniendo en cuenta las multiplicidades). En particular, para una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, ax^2+bx+c=0,<\/em> con coeficientes reales o complejos, siempre existen dos soluciones, no necesariamente distintas, que vienen dadas por las conocidas expresiones x=(-b+\u221a(b^2-4\u00b7a\u00b7c))\/(2\u00b7a)<\/em> y x=(-b-\u221a(b^2-4\u00b7a\u00b7c))\/(2\u00b7a).<\/em><\/p>\n

Para seguir adentr\u00e1ndose en este bello mundo, os remito ahora al art\u00edculo que escrib\u00ed hace unas pocas semanas para el ABCdario de las matem\u00e1ticas<\/em> titulado “El bello mundo de los n\u00fameros imposibles”:<\/p>\n

https:\/\/www.abc.es\/ciencia\/abci-bello-mundo-numeros-imposibles-201905060149_noticia.html<\/a><\/p>\n

Esta entrada tambi\u00e9n est\u00e1 inspirada en el trabajo de divulgaci\u00f3n realizado en torno al siguiente libro:<\/p>\n

Sepulcre, J.M.:\u00a0Weierstrass. La gestaci\u00f3n del an\u00e1lisis moderno<\/a>. ISBN: 978-84-473-8775-5, 156 p\u00e1ginas, Editorial RBA. Colecci\u00f3n: Genios Matem\u00e1ticos, 2017.<\/p>\n

Escrito por Juan Mat\u00edas Sepulcre<\/em><\/strong><\/p>\n

Este post forma parte del\u00a0<\/em>Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/em><\/strong>, que en esta octog\u00e9sima tercera edici\u00f3n, tambi\u00e9n denominada X.3, est\u00e1 organizado por @Pedrodanielpg a trav\u00e9s de su blog <\/em>A todo Gauss.<\/em><\/strong><\/a> Finalmente esta entrada fue la ganadora<\/a> de esta edici\u00f3n.
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