{"id":1226,"date":"2019-06-29T11:25:12","date_gmt":"2019-06-29T11:25:12","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1226"},"modified":"2019-06-29T11:25:12","modified_gmt":"2019-06-29T11:25:12","slug":"solucion-a-terna-de-enteros","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/06\/29\/solucion-a-terna-de-enteros\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a terna de enteros"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 3 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Encuentra una terna de enteros positivos x, y, z tales que se cumpla la siguiente igualdad:<\/p>\n<p>97\/19 = 5 + 1\/(x + 1\/(y + 1\/z))<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1223\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/06\/99.Ternadeenteros.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/06\/99.Ternadeenteros.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/06\/99.Ternadeenteros-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nLa clave en esta igualdad (salvo que conozcas las f\u00f3rmulas relativas a las fracciones continuas) es que en cada suma uno de los dos sumandos es menor o igual que 1, ya que x, y y z son mayores o iguales que 1.<\/p>\n<p>Puesto que 97\/19 es un n\u00famero entre 5 y 6, calculamos 97\/19 \u2013 5 y ser\u00e1 igual que la fracci\u00f3n, es decir, que 2\/19 = 1\/(x + 1\/(y + 1\/z)), por lo que, invirtiendo ambas fracciones, tenemos que 19\/2 = x + 1\/(y + 1\/z).<\/p>\n<p>De la misma forma, 19\/2 es un n\u00famero entre 9 y 10, por lo que x debe ser 9, y la diferencia entre 19\/2 y 9, 19\/2 \u2013 9, ser\u00e1 igual a la fracci\u00f3n. Tenemos, por tanto, que 1\/2 = 1\/(y + 1\/z). De nuevo, invirtiendo ambas fracciones, tenemos que 2 = y + 1\/z.<\/p>\n<p>Por fin, como 1\/z no puede ser nulo y s\u00ed puede valer 1, est\u00e1 claro que y = 1 y z = 1, porque no puede darse que y sea 2.<\/p>\n<p>En resumen, x = 9, y = 1 y z =1.<\/p>\n<p>No ser\u00eda admitida como fracci\u00f3n continua est\u00e1ndar, ya que ninguna puede acabar en 1, ser\u00eda equivalente a [5;9,2].<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 3 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os Encuentra una terna de enteros positivos x, y, z tales que se cumpla la siguiente igualdad: 97\/19 = 5 + 1\/(x + 1\/(y + 1\/z)) Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242020,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1226","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-de-la-comunidad-valenciana","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1226","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1226"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1226\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1227,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1226\/revisions\/1227"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1226"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1226"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1226"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}