{"id":1232,"date":"2019-07-06T05:48:29","date_gmt":"2019-07-06T05:48:29","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1232"},"modified":"2019-07-06T05:50:31","modified_gmt":"2019-07-06T05:50:31","slug":"enteros-piola-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/07\/06\/enteros-piola-2\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a enteros piola"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 del segundo nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019)\r\nSe dirige a una edad de 14 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Un entero es piola si los 9 restos que se obtienen al dividirlo entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 son todos diferentes y distintos de cero.<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1ntos enteros piolas hay entre 1 y 100000?<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1230\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/06\/100.Enterospiola.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/06\/100.Enterospiola.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/06\/100.Enterospiola-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nPara pensar en un problema, a veces es conveniente pensar en n\u00fameros m\u00e1s bajos, para entender qu\u00e9 sucede.<\/p>\n<p>Vamos a rebajar la exigencia. En lugar de pedir 9 restos, vamos a conformarnos con 1.<\/p>\n<p>En ese caso, lo que estamos buscando es un entero que de resto al dividirlo entre 2 distinto de cero. Vamos, un impar. El m\u00e1s peque\u00f1o es 1, y hay uno cada 2 unidades.<\/p>\n<p>Subamos un poco. \u00bfY si queremos que haya 2 restos?<\/p>\n<p>Buscamos un entero que proporcione restos diferentes entre s\u00ed al dividirlo entre 2 y entre 3, y que tampoco valgan 0. Claro, al dividirlo entre 2 debe dar resto 1. Y al dividirlo entre 3 debe dar resto 2 (s\u00f3lo puede ser 0, 1 o 2, y evidentemente no puede ser uno de los dos primeros). Observamos que 1, 2, 3, y 4 no valen, por lo que paramos en el 5, el primero v\u00e1lido. Si seguimos explorando, el siguiente es el 11. Cada 6 unidades hay uno, (17, 23, 29, &#8230;), siempre antes de un m\u00faltiplo de 2 y de 3. \u00a1Ah\u00ed est\u00e1 la clave!<\/p>\n<p>Vamos a generalizar.<\/p>\n<p>Si tenemos un entero de los requeridos en el problema, un entero piola, el resto al dividirlo entre 2 debe ser necesariamente 1, al dividirlo entre 3 debe ser necesariamente 2, y as\u00ed, sucesivamente, al dividirlo entre cualquier n\u00famero n entre 2 y 10, el resto debe ser n \u2013 1, ya que los restos anteriores ya estar\u00e1n usados, y no puede ser 0.<\/p>\n<p>Por otra parte, si le sumamos 1, el resto al dividirlo entre esos n\u00fameros entre 2 y 10 pasar\u00eda a valer 0, es decir, se tratar\u00eda de un m\u00faltiplo de todos ellos.<\/p>\n<p>Es decir, que los enteros piola son anteriores a un m\u00faltiplo de todos los n\u00fameros entre 2 y 10.<\/p>\n<p>Pero estos valores son m\u00faltiplos a su vez del m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo, que ser\u00eda 2\u00b3\u00b73\u00b2\u00b75\u00b77 = 2520. El primero, como podemos comprobar, es el 2519, y cada 2520 unidades encontraremos otro.<\/p>\n<p>Para saber con seguridad cu\u00e1ntos hay, basta dividir 100001 entre 2520, (sumamos 1 para cubrir el supuesto de que 100001 fuese m\u00faltiplo de 2520, que no es el caso), y como esta divisi\u00f3n entera es 39 ( y con resto 1720), el n\u00famero total de enteros piola que nos piden ser\u00e1 exactamente de 39 por debajo de 100000.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 del segundo nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019) Se dirige a una edad de 14 a\u00f1os Un entero es piola si los 9 restos que se obtienen al dividirlo entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 son todos diferentes y distintos de cero. \u00bfCu\u00e1ntos enteros piolas hay [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242018,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1232","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-de-mayo","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1232","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1232"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1232\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1234,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1232\/revisions\/1234"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1232"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1232"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1232"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}