{"id":1246,"date":"2019-07-20T08:03:33","date_gmt":"2019-07-20T08:03:33","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1246"},"modified":"2019-07-20T08:03:33","modified_gmt":"2019-07-20T08:03:33","slug":"solucion-a-conjunto-infinito-de-primos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/07\/20\/solucion-a-conjunto-infinito-de-primos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a conjunto infinito de primos"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Determinar si existe un conjunto finito S formado por n\u00fameros primos positivos de manera que para cada entero n \u2265 2, el n\u00famero 2\u00b2 + 3\u00b2 + \u2026 + n\u00b2 sea m\u00faltiplo de alg\u00fan elemento de S.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLo primero que debemos hacer es entender bien la pregunta. Lo que pide es saber si existe un conjunto de primos que garantice que todos los elementos de un conjunto infinito son m\u00faltiplos de alguno de los primos del conjunto.<\/p>\n
Por ejemplo, si tomamos un conjunto que contenga a todos los pares y los m\u00faltiplos de 7 ({2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14, …}), por ejemplo, existir\u00eda un conjunto de dos primos (evidentemente, {2,7}) para el que todos los elementos del conjunto infinito son m\u00faltiplos.<\/p>\n
Sin embargo, si pensamos en el conjunto infinito de los impares, no hay tal conjunto finito, ya que existen infinitos primos impares, y cada vez que apareciera uno deber\u00edamos a\u00f1adirlo al conjunto para que existiese tal conjunto, porque un primo no es m\u00faltiplo de ning\u00fan otro primo.<\/p>\n
Otra cosa que debemos entender es c\u00f3mo es el conjunto infinito con el que debemos trabajar, es decir, ver si tiene una expresi\u00f3n que nos sea m\u00e1s manejable.<\/p>\n
Al tratarse de una suma de cuadrados, puede expresarse como un polinomio de grado tres en funci\u00f3n del n\u00famero de sumandos. Veamos c\u00f3mo podemos encontrar encontrar esa expresi\u00f3n.<\/p>\n
La forma en la que yo comprend\u00ed este hecho, y aprend\u00ed a calcular el polinomio, se basa en el desarrollo del binomio de Newton.<\/p>\n
Por ejemplo, puesto que (x \u2013 1)\u00b3 = x\u00b3 \u2013 3x\u00b2 + 3x \u2013 1, resulta que x\u00b3 \u2013 (x \u2013 1)\u00b3 = 3x\u00b2 \u2013 3x + 1, es decir, que (x\u00b3)\/3 \u2013 ((x \u2013 1)\u00b3)\/3 = x\u00b2 \u2013 x + 1\/3.<\/p>\n
Ahora vamos a eliminar la parte de primer grado. Para lograrlo, pensemos que (x \u2013 1)\u00b2 = x\u00b2 \u2013 2x + 1, as\u00ed que de forma parecida a lo anterior, (x\u00b2)\/2 \u2013 ((x \u2013 1)\u00b2)\/2 = x \u2013 1\/2. Por lo tanto, (x\u00b3)\/3 + (x\u00b2)\/2 \u2013 [((x \u2013 1)\u00b3)\/3 + ((x \u2013 1)\u00b2)\/2] = x\u00b2 \u2013 x + 1\/3 + x \u2013 1\/2 = x\u00b2 \u2013 1\/6.<\/p>\n
Por \u00faltimo, eliminemos 1\/6. Como x \u2013 (x \u2013 1) = 1, x\/6 \u2013 (x \u2013 1)\/6 = 1\/6. As\u00ed que (x\u00b3)\/3 + (x\u00b2)\/2 + x\/6 \u2013 [((x \u2013 1)\u00b3)\/3 + ((x \u2013 1)\u00b2)\/2 + (x \u2013 1)\/6] = x\u00b2 \u2013 1\/6 + 1\/6 = x\u00b2.<\/p>\n
As\u00ed que tenemos un polinomio, p(x) = (x\u00b3)\/3 + (x\u00b2)\/2 + x\/6 = (2x\u00b3 + 3x\u00b2 + x)\/6 que cumple p(x) \u2013 p(x \u2013 1) = x\u00b2. Ahora, es f\u00e1cil ajustar el t\u00e9rmino independiente de este polinomio para que en x = 2 nos proporcione el valor inicial 4. Puesto que p(2) = (16 + 12 + 2)\/ 6 = 5, es suficiente restarle 1, y as\u00ed tenemos el polinomio q(x) = p(x) \u2013 1 = (2x\u00b3 + 3x\u00b2 + x \u2013 6)\/6.<\/p>\n
Veamos que \u00e9ste es un polinomio de los que necesitamos. Como q(2) = 4 = 2\u00b2, sabemos que para n = 3, se cumple que q(n \u2013 1) = 2\u00b2 + … + (n \u2013 1)\u00b2. Si suponemos que q(n \u2013 1) = 2\u00b2 + 3\u00b2 + … + (n \u2013 1)\u00b2 para un valor determinado n, resulta que q(n) = q(n \u2013 1) + n\u00b2 = 2\u00b2 + 3\u00b2 + … + (n \u2013 1)\u00b2 + n\u00b2, por lo que la f\u00f3rmula se cumple para todo valor entero positivo n a partir de 2.<\/p>\n
Por supuesto, hay otras maneras de construirlo. Incluso hay gente que se sabe de memoria las f\u00f3rmulas de las sumas de cuadrados, de cubos, etc\u00e9tera. Pero me gusta tener recursos para reconstruirlas.<\/p>\n
A pesar de las fracciones, este polinomio siempre da valor entero, debido a que es una suma de enteros. Para estudiar sus factores primos, es mejor tenerlo factorizado.<\/p>\n
Usando el m\u00e9todo de Ruffini, r\u00e1pidamente encontramos un factor (x \u2013 1), as\u00ed que la expresi\u00f3n queda q(x) = (x \u2013 1)(2x\u00b2 + 5x + 6)\/6. El otro factor, el polinomio de segundo grado, no se puede factorizar con n\u00fameros reales, as\u00ed que deberemos trabajar con \u00e9l as\u00ed.<\/p>\n
Unas cuantas pruebas nos sugieren que no parece haber un patr\u00f3n de primos sencillo, as\u00ed que vamos a tratar de demostrar que no existe ese conjunto de primos.<\/p>\n
Ahora, supongamos que tenemos un conjunto de primos que cumple el enunciado, y veamos c\u00f3mo construir un valor n de forma que q(n) no sea divisible por ninguno de sus elementos, con lo que demostraremos que no existe tal conjunto.<\/p>\n
En primer lugar, elegiremos el n de forma que el factor x \u2013 1 simplifique el denominador, lo que facilitar\u00e1 mucho el c\u00e1lculo. Para ello, pensemos que n \u2013 1 = 6k, as\u00ed que n = 6k + 1, para cualquier valor de k. Usando ese conjunto de valores, tendr\u00edamos q(6k \u2013 1) = 6k(2(6k\u00b2 + 12k + 1) + 5(6k + 1) + 6)\/6 = 6k(12k\u00b2 + 24k + 30k + 2 + 5 + 6)\/6 = k(12k\u00b2 + 54k + 13).<\/p>\n
Es muy sencillo obtener un n\u00famero que sea m\u00faltiplo de todos los primos del conjunto finito, sencillamente multiplic\u00e1ndolos. Si a ese n\u00famero le sumamos uno, tenemos un n\u00famero que no ser\u00e1 m\u00faltiplo de ninguno de ellos, porque su resto es uno con cualquiera de los n\u00fameros primos del conjunto. Tomemos k ese resultado. Al dividir por cualquiera de ellos, entonces, da de resto uno, y q(k), por tanto, al dividirlo, tendr\u00e1 un resto igual a 1(12\u00b71\u00b2 + 54\u00b71 + 13) = 12 + 54 + 1 = 67, es decir, que si el 67 es uno de los n\u00fameros del conjunto, se nos estropea la demostraci\u00f3n, as\u00ed que vamos a trabajar un poco m\u00e1s para obtener un valor de k m\u00e1s apropiado.<\/p>\n
Hay un teorema llamado teorema chino del resto, que garantiza que (siempre que los elementos de un conjunto finito sean primos dos a dos) podemos construir un valor de k cuyos restos al dividir por los primos del conjunto finito sean como nosotros queramos, en concreto, por ejemplo, podemos elegir que d\u00e9 de resto 1, excepto con el 67, con el que d\u00e9 de resto, por ejemplo, 2. En ese caso, al dividir entre cualquiera de los primos dar\u00e1 67, luego no ser\u00e1 m\u00faltiplo de ninguno de esos primos. Y al dividirlo entre 67, sin embargo, el resto dar\u00e1 2\u00b7(12\u00b74 + 54\u00b72 + 13) = 2\u00b7(48 + 108 + 13) = 2\u00b7169 = 2\u00b713\u00b2, que claramente no es m\u00faltiplo de 67, por lo que la existencia de tal conjunto no es posible.<\/p>\n
Si no conoces el teorema citado, la idea es multiplicar todos los primos, menos el 67 (en caso de estar presente este primo). Se estudia qu\u00e9 resto da al dividir entre 67, que evidentemente ser\u00e1 diferente de cero. Al multiplicar este n\u00famero por los valores entre 1 y 66, dar\u00e1 los 66 posibles restos, entre ellos 1. Elegimos este valor y multiplicamos, por lo que tenemos un n\u00famero que da 0 con todos los primos del conjunto, y 1 con 67. Al sumarle 1, tenemos el n\u00famero que quer\u00edamos.<\/p>\n
Con esta construcci\u00f3n tendr\u00edamos un valor n para el que q(n) no ser\u00eda m\u00faltiplo de ning\u00fan elemento del conjunto que ten\u00edamos, por lo que en efecto tal conjunto ser\u00eda imposible.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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