{"id":1255,"date":"2019-07-27T07:29:48","date_gmt":"2019-07-27T07:29:48","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1255"},"modified":"2019-07-27T07:32:14","modified_gmt":"2019-07-27T07:32:14","slug":"solucion-de-dos-digitos-al-cuadrado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/07\/27\/solucion-de-dos-digitos-al-cuadrado\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n de dos d\u00edgitos al cuadrado"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 del primer nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019)\r\nSe dirige a una edad de 12 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Halla todos los n\u00fameros de dos d\u00edgitos con la propiedad de que su cuadrado acaba en dos d\u00edgitos id\u00e9nticos al n\u00famero original.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1249\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/07\/103.Dosdigitos.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/07\/103.Dosdigitos.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/07\/103.Dosdigitos-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<!--more--><\/p>\n<p>Pensemos primero en el \u00faltimo d\u00edgito solamente.<\/p>\n<p>Cuando lo elevemos al cuadrado debe dar como resultado \u00e9l mismo, as\u00ed que s\u00f3lo puede ser 0, 1, 5, o 6.<\/p>\n<p>Analicemos por separado esas cuatro opciones. Las voy a analizar algebraicamente, pero es sencillo hacer un an\u00e1lisis m\u00e1s simple mediante enumeraci\u00f3n, encontrando curiosos patrones al elevar al cuadrado (la diferencia en las decenas entre un cuadrado y el siguiente, manteniendo fija la \u00faltima cifra, var\u00edan aumentando de la misma forma siempre).<\/p>\n<p>Si acaba en 0, al elevarlo al cuadrado acabar\u00e1 en 00, por lo que la \u00fanica soluci\u00f3n es 00, pero ese n\u00famero no es un n\u00famero de dos cifras habitualmente v\u00e1lido.<\/p>\n<p>Si acaba en 1, es de la forma 10x + 1, y al elevarlo al cuadrado ser\u00e1 100x\u00b2 + 20x + 1, es decir, 20x = 10x, por lo que x = 0, obteniendo el n\u00famero 01, que tampoco es un n\u00famero v\u00e1lido, habitualmente.<\/p>\n<p>Si acaba en 5, es de la forma 10x + 5, por lo que su cuadrado ser\u00e1 de la forma 100x\u00b2 + 100x + 25, siendo que la cifra de las decenas siempre es un 2. Eso quiere decir que x es 2, es decir, se trata del 25, cuyo cuadrado es el 625.<\/p>\n<p>Por \u00faltimo, si acaba en 6, es de la forma 10x + 6, y su cuadrado es 100x\u00b2 + 120x + 36, cuya cifra de las decenas es 2x + 3. La \u00fanica manera de que 2x + 3 = x consiste en que x = -3, es decir, x = 7 (hay que tener en cuenta que excederse 10 unidades tiene la misma cifra). De esta forma, tenemos el 76, que al elevar al cuadrado proporciona el 4900 + 840 + 36 = 5776, que de nuevo acaba en 76.<\/p>\n<p>As\u00ed pues, los n\u00fameros buscados son el 25 y el 76, aunque si aceptamos como n\u00fameros de dos cifras los que empiezan por cero, tambi\u00e9n ser\u00edan v\u00e1lidos el 00 y el 01.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 del primer nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019) Se dirige a una edad de 12 a\u00f1os Halla todos los n\u00fameros de dos d\u00edgitos con la propiedad de que su cuadrado acaba en dos d\u00edgitos id\u00e9nticos al n\u00famero original. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242018,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1255","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-de-mayo","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1255","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1255"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1255\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1259,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1255\/revisions\/1259"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1255"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1255"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1255"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}