{"id":1272,"date":"2019-08-10T20:54:28","date_gmt":"2019-08-10T20:54:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1272"},"modified":"2019-08-10T20:54:28","modified_gmt":"2019-08-10T20:54:28","slug":"solucion-a-zona-sombreada","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/08\/10\/solucion-a-zona-sombreada\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a zona sombreada"},"content":{"rendered":"
Problema 4 del nivel B de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Partimos de un c\u00edrculo de radio 4 metros.<\/p>\n
Desde un punto exterior al c\u00edrculo, trazamos dos tangentes al mismo, y comprobamos que forman en ese punto un \u00e1ngulo de 60\u00ba.<\/p>\n
Si rellenamos de color el \u00e1rea entre las dos tangentes y el c\u00edrculo \u00bfqu\u00e9 \u00e1rea queda sombreada?
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\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
Hay varias formas de empezar este problema. La m\u00e1s directa, que pr\u00e1cticamente no necesita usar trigonometr\u00eda, pasa por trazar los radios del c\u00edrculo hasta los puntos de tangencia, y unir el centro y el punto exterior.<\/p>\n
As\u00ed se formar\u00edan dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos iguales, por simetr\u00eda. En el punto exterior, entonces, tendr\u00edan \u00e1ngulos de 30\u00ba, y por la misma raz\u00f3n formar\u00edan un \u00e1ngulo de 60\u00ba en el centro de la circunferencia.
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\nEstos dos tri\u00e1ngulos formar\u00edan, si los unimos por uno de sus catetos, un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero.<\/p>\n
La zona sombreada ser\u00eda el \u00e1rea de este tri\u00e1ngulo menos la zona del c\u00edrculo que cae en ese \u00e1ngulo, que es la tercera parte de los 360\u00ba del c\u00edrculo, 120\u00ba.<\/p>\n
Por tanto, debemos calcular el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero (o la suma de los dos rect\u00e1ngulos) y restarle la tercera parte de la circunferencia.<\/p>\n
Para el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo, sabemos que los radios miden 4 metros, y como al unir esos dos tri\u00e1ngulos se forma un equil\u00e1tero, y los radios quedar\u00edan como la mitad de un lado, el otro lado, que es la hipotenusa del tri\u00e1ngulo original, mide 8 metros.<\/p>\n
Para hallar el \u00e1rea, podr\u00edamos usar entonces el teorema de Pit\u00e1goras y calcular el otro cateto, sabiendo que 64 \u2013 16 = 48, ser\u00eda la ra\u00edz de 48, 6.93. Por lo tanto, el \u00e1rea de cada tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo ser\u00eda 6.93\u00b74\/2, y la suma de ambos valdr\u00eda 6.93\u00b74 = 27.72. Al restarle la tercera parte del \u00e1rea de la circunferencia, 16\u00b73.14\/3 = 16.75, quedar\u00eda 10.97 metros. (con m\u00e1s precisi\u00f3n, ser\u00eda 16\u00b7ra\u00edz(3) \u2013 16\u00b7pi\/3 = 16*(ra\u00edz(3) \u2013 pi\/3)).<\/p>\n
Hay m\u00e1s alternativas para calcular el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero (8\u00b76.93\/2, como base por altura partido por dos, aplicar la f\u00f3rmula de her\u00f3n, como ra\u00edz de 12\u00b74\u00b74\u00b74, o multiplicar dos lados por el seno del \u00e1ngulo que forman, 8\u00b78\u00b7sen(60)).<\/p>\n
Otra manera de abordar le problema ser\u00eda trazar la linea que une los puntos de tangencia, con lo que tendr\u00edamos un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero (ser\u00eda m\u00e1s dif\u00edcil conocer su lado, pero una vez que se pudiera hacer, deber\u00edamos restarle al \u00e1rea la de un segmento del c\u00edrculo, que tampoco ser\u00eda f\u00e1cil).
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\nY una \u00faltima idea que podr\u00eda funcionar ser\u00eda prolongar las l\u00edneas de tangencia y construir un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero de forma que el c\u00edrculo quedara inscrito. El \u00e1rea ser\u00eda entonces la tercera parte del \u00e1rea del tri\u00e1ngulo menos el c\u00edrculo, aunque tampoco ser\u00eda algo directo conocer el lado del tri\u00e1ngulo.
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