{"id":1292,"date":"2019-08-24T04:49:01","date_gmt":"2019-08-24T04:49:01","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1292"},"modified":"2019-08-24T04:49:01","modified_gmt":"2019-08-24T04:49:01","slug":"solucion-a-funcion-entera","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/08\/24\/solucion-a-funcion-entera\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a funci\u00f3n entera"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la 60 Olimpiada Internacional (2019)\r\nSe dirige a una edad de: 17-19 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea Z el conjunto de los n\u00fameros enteros.<\/p>\n
Determinar todas las funciones f:Z \u2192 Z tales que, para todos los enteros a y b, f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nComo siempre en este tipo de problemas complejos, voy a intentar explicar c\u00f3mo se puede llegar a una soluci\u00f3n mediante experimentaci\u00f3n y razonamiento, pero tambi\u00e9n voy a incluir la soluci\u00f3n que me ha enviado nuestro colaborador Javier Nistal, ya que tiene variantes interesantes.<\/p>\n
Puesto que emplea la operaci\u00f3n de multiplicar por 2, est\u00e1 claro que va a jugar un papel importante el caso en que a = 0. La expresi\u00f3n quedar\u00eda como f(0) + 2f(b) = f(f(b)). Y en el caso especial en que b tambi\u00e9n vale 0, tendr\u00edamos que f(0) + 2f(0) = 3f(0) = f(f(0)).<\/p>\n
El siguiente paso que es razonable dar es imaginar un valor concreto para f(0), y jugar a \u201crellenar\u201d los dem\u00e1s valores, a no ser que demos con una idea interesante.<\/p>\n
Si f(0) = 1, por ejemplo, tendremos que 3f(0) = 3 = f(f(0)) = f(1), por lo que f(1) = 3.<\/p>\n
Pero tambi\u00e9n f(0) + 2f(1) = f(f(1)), por lo que 1 + 6 = 7 = f(3). Y, claro, f(2) + 2f(0) =f(f(1)), por lo que f(2) = 7 \u2013 2 = 5. Da la sensaci\u00f3n de que f(n) = 2n + 1.<\/p>\n
Para 5 podemos usar que f(2) + 2f(1) = f(f(2)), de donde 5 + 6 = 11 = f(5).<\/p>\n
Para el 4 podemos usar f(4) + 2f(0) = f(f(2)), es decir, f(4) = f(5) \u2013 2 = 9.<\/p>\n
Para el 7 podemos usar f(4) + 2f(1) = f(f(3)), de donde 9 + 6 = 15 = f(7).<\/p>\n
Para el 6, f(6) + 2f(0) = f(f(3)), por lo que f(6) = f(7) \u2013 2 = 13.<\/p>\n
As\u00ed, si para un cierto n\u00famero impar positivo 2n + 1 lo tenemos comprobado, y para todos los anteriores, entonces, f(2n) + 2f(1) = f(f(n + 1)), es decir, 4n + 1 + 6 = f(2n + 3), con lo que ciertamente 2(2n + 3) + 1 = 4n + 7, y adem\u00e1s f(2n + 2) + 2f(0) = f(f(n + 1)), por lo que f(2n + 2) = f(2n + 3) \u2013 2 = 4n + 7 \u2013 2 = 4n + 5, es decir, que f(2n + 2) = 2(2n + 2) + 1.<\/p>\n
\u00bfY qu\u00e9 pasa con los n\u00fameros negativos? Pues que si tenemos un n\u00famero negativo de la forma \u2013n, entonces f(2n) + 2f(\u2013n) = f(f(0)), por lo que 4n + 1 + 2f(\u2013n) = 3, por lo que 2f(\u2013n) = \u20134n + 2, y f(\u2013n) = \u20132n + 1, as\u00ed que sigue cumpli\u00e9ndose que f(\u2013n) = 2(\u2013n) + 1.<\/p>\n
Es decir, que si f(0) = 1, la funci\u00f3n es exactamente f(n) = 2n + 1. Es sencillo comprobar que en ese caso se cumple la condici\u00f3n requerida, ya que f(2a) + 2f(b) = 4a + 1 + 2(2b + 1) = 4a + 4b + 3, mientras que f(f(a + b)) = 2(2(a + b) + 1) +1 = 2(2a + 2b + 1) + 1 = 4a + 4b + 2 + 1. Por lo tanto esta funci\u00f3n es una de las que nos piden.<\/p>\n
\u00bfHabr\u00e1 m\u00e1s funciones de la forma cx + d? Basta comprobar la identidad, as\u00ed que f(2a) + 2f(b) = 2ca + d + 2(cb + d) = 2ca + 2cb + 3d, mientras que f(f(a + b)) = c(c(a + b) + d) + d = c(ca + cb + d) + d = c\u00b2a + c\u00b2b + cd + d, de forma que se tiene que dar 2ca + 2cb + 3d = c\u00b2a + c\u00b2b + cd + d para todos los valores enteros de a y de b, por lo que 3d = cd + d, es decir, 2d = cd, y adem\u00e1s 2c = c\u00b2. Este par de condiciones se cumplen si c = 2, para cualquier valor de d, y si c = 0 y d = 0.<\/p>\n
As\u00ed, tenemos la funci\u00f3n f(n) = 0, y la familia f(n) = 2n + d. Es sencillo comprobar que tanto una como las otras cumplen la condici\u00f3n requerida, pero \u00bfson las \u00fanicas que lo hacen, o habr\u00e1 m\u00e1s?<\/p>\n
Para f(n) = 0, tenemos que f(2a) + 2f(b) = 0 + 2\u00b70 = 0, mientras que f(f(a + b)) = 0.<\/p>\n
Para f(n) = 2n + d, tenemos que f(2a) + 2f(b) = 4a + d + 2(2b + d) = 4a + 4b + 3d, mientras que f(f(a + b)) = 2(2(a + b) + d) +d = 2(2a + 2b + d) + d = 4a + 4b + 2d + d = 4a + 4b + 3d.<\/p>\n
El paso m\u00e1s delicado es el que seguimos para probar que no hay m\u00e1s, tratando de ver que las funciones que cumplen esa condici\u00f3n son siempre afines, es decir, tienen un crecimiento siempre regular.<\/p>\n
Por ejemplo, podemos tratar de relacionar f(n) y f(n + 1), ya que f(2) + 2f(n) = f(f(n + 1)), y f(0) + 2f(n + 1) = f(f(n + 1)), es decir, son iguales. Por eso, f(2) + 2f(n) = f(0) + 2f(n + 1), as\u00ed que 2f(n + 1) \u2013 2f(n) = f(2) \u2013 f(0), o, dicho de otra forma, f(n + 1) \u2013 f(n) = (f(2) \u2013 f(0))\/2, es decir, una constante.<\/p>\n
En la soluci\u00f3n de Javier, observa de manera similar, para a = 0, b = a, que f(0) + 2f(a) = f(f(a)). Por otra parte, si b = 0, f(2a) + 2f(0) = f(f(a)), por lo que 2f(a) = f(2a) + f(0).<\/p>\n
Pero, volviendo a la expresi\u00f3n inicial, tenemos que f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b) = f(0) + 2f(a + b), por lo que 2f(a) \u2013 f(0) + 2f(b) = f(0) + 2f(a + b), y de ah\u00ed, f(a) + f(b) = f(a + b) + f(0).<\/p>\n
En el caso a = 1, b = 2, tenemos que f(1) + f(2) = f(3) + f(0), y tambi\u00e9n f(2) = 2f(1) \u2013 f(0), por lo que f(3) = 3f(1) \u2013 2f(0). De forma similar, tenemos que f(4) = 4f(1) \u2013 3f(0).
\nHacemos la hip\u00f3tesis de que f(n) = nf(1) \u2013 (n \u2013 1)f(0) = n(f(1) \u2013 f(0)) + f(0).<\/p>\n
Usando esas dos propiedades previas, se puede demostrar de manera sencilla por inducci\u00f3n, ya que podemos sumar 1 a cualquier valor y pasar al siguiente. Deber\u00edamos hacer tambi\u00e9n hacer inducci\u00f3n hacia los valores negativos, pero eso no supone m\u00e1s que una peque\u00f1a complicaci\u00f3n adicional.<\/p>\n
Cuando tenemos demostrado este resultado, lo que tenemos es una f\u00f3rmula que prueba que f(n) =cn + d, es decir, que se trata de funciones lineales. Y de ah\u00ed concluimos el resultado anterior, que c = 2 y d puede ser cualquier valor, o bien, c = d = 0 (con lo que tenemos la funci\u00f3n nula f(n) = 0 , y la familia f(n) = 2n + d. Y que esas funciones, como hemos visto, verifican la condici\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 1 de la 60 Olimpiada Internacional (2019) Se dirige a una edad de: 17-19 a\u00f1os Sea Z el conjunto de los n\u00fameros enteros. Determinar todas las funciones f:Z \u2192 Z tales que, para todos los enteros a y b, f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)). Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242022,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1292","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-internacional","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1292","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1292"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1292\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1293,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1292\/revisions\/1293"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1292"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1292"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1292"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}