{"id":1301,"date":"2019-08-31T20:16:22","date_gmt":"2019-08-31T20:16:22","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1301"},"modified":"2019-09-01T06:31:39","modified_gmt":"2019-09-01T06:31:39","slug":"solucion-al-menor-de-los-maximos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/08\/31\/solucion-al-menor-de-los-maximos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n al menor de los m\u00e1ximos"},"content":{"rendered":"
Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Se consideran todos los pares de n\u00fameros reales (x, y) tales que 0 \u2264 x \u2264 y \u2264 1.<\/p>\n
Sea M(x, y) el m\u00e1ximo valor del conjunto de tres n\u00fameros reales A = {xy, xy \u2013 x \u2013 y + 1, x + y \u2013 2xy}.<\/p>\n
Hallar el m\u00ednimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEsta pregunta tiene muchas formas de ser abordada, pero es complicado encontrar un camino sencillo.<\/p>\n
Lo primero es reescribir los tres valores, para facilitar la comparaci\u00f3n. La expresi\u00f3n xy \u2013 x \u2013 y + 1 = xy \u2013 (x + y) + 1 = x(y \u2013 1) \u2013 (y \u2013 1) = (x \u2013 1)(y \u2013 1), aunque, por otra parte, x + y \u2013 2xy no parece tener una expresi\u00f3n diferente que simplifique las comparaciones.<\/p>\n
Por otra parte, observamos que el sumando xy aparece en dos de las expresiones, mientras que en la otra aparece multiplicado por \u20132, as\u00ed que si sumamos las tres expresiones obtenemos xy + xy \u2013 x \u2013 y + 1 + x + y \u2013 2xy = 1. As\u00ed que se trata de tres valores que suman 1.<\/p>\n
Por otra parte, puesto que x e y son variables entre 0 y 1, se da que x\u00b2 \u2264 x, y tambi\u00e9n y\u00b2 \u2264 y. De esta forma, (x \u2013 y)\u00b2 = x\u00b2 + y\u00b2 \u2013 2xy \u2264 x + y \u2013 2xy.<\/p>\n
Por otra parte, los tres valores tienen una fuerte relaci\u00f3n con el producto y la suma. Si llamamamos p al producto y s a la suma, tenemos que el primero es p, el segundo es p \u2013 s + 1 y el tercero es p \u2013 2s.<\/p>\n
Recuerda que cuando aparecen suma y producto, conviene recordar la desigualdad de la media aritm\u00e9tica y geom\u00e9trica, que afirma que si x e y son n\u00fameros positivos (como es el caso), entonces (x + y)\/2 \u2265 ra\u00edz(xy), y la igualdad s\u00f3lo se da en el caso de que x e y sean iguales.<\/p>\n
Tras tantear con unos cuantos valores, se puede conjeturar que el valor m\u00ednimo de todos los m\u00e1ximos es 4\/9, y es sencillo encontrar valores en los que se alcanza.<\/p>\n
Puesto que la suma de los tres valores es 1, si uno de ellos es menor que 1\/9, uno de los otros dos es seguro mayor o igual que 4\/9, ya que la suma de ambos es 8\/9.<\/p>\n
Veamos c\u00f3mo deshacer parte de la complejidad, estudiando por separado los casos en los que sepamos cu\u00e1l de los tres es el mayor.<\/p>\n
Si xy \u2265 x + y \u2013 2xy, entonces 3xy \u2265 x + y \u2265 2ra\u00edz(xy), por lo que xy \u2265 2ra\u00edz(xy)\/3, es decir, ra\u00edz(xy) \u2265 2\/3, es decir, xy \u2265 4\/9 (el primero de los valores es, en efecto, mayor que 4\/9).<\/p>\n
Si se da que xy \u2013 x \u2013 y +1 \u2265 x + y \u2013 2xy, de nuevo 3xy + 1 \u2265 2(x + y) \u2265 4ra\u00edz(xy), de donde obtenemos el polinomio en la variable z = ra\u00edz(xy) 3z\u00b2 \u2013 4 z + 1 \u2265 0. Por la posici\u00f3n de las ra\u00edces, o bien z \u2264 1\/3 (con lo cual, xy \u2264 1\/9, y uno de los dos n\u00fameros antedichos debe ser mayor o igual que 4\/9), o bien z \u2265 1, con lo que xy debe ser mayor o igual que 1.<\/p>\n
El \u00faltimo caso es aquel en el que el mayor de los tres valores es x + y \u2013 2xy. Supongamos que este valor es menor que 4\/9 y tratemos de llegar a una contradicci\u00f3n. Si x + y \u2013 2xy < 4\/9, se da que 4\/9 + 2xy > x + y \u2265 2ra\u00edz(xy). De nuevo, esto nos lleva a un polinomio en z = ra\u00edz(xy), 2z\u00b2 \u2013 2z + 4\/9 > 0, lo que nos lleva a unas soluciones para z que deben ser menor que 1\/3 (con lo que llegar\u00edamos a una situaci\u00f3n similar a la anterior), o z mayor que 2\/3, que de nuevo lleva a una contradicci\u00f3n.<\/p>\n
Por lo tanto, todos los valores m\u00e1ximos son superiores a 4\/9, y explotando la igualdad en que uno de los valores valga 1\/9 y los otros dos 4\/9 (por ejemplo, x = y = 1\/3, con lo que xy \u2013 x \u2013 y + 1 = 4\/9), encontramos que se cumple la igualdad. Luego el m\u00ednimo de los m\u00e1ximos es, precisamente, 4\/9.<\/p>\n
Mi agradecimiento de nuevo a Javier Nistal Salas, que me ha guiado en los detalles de este farragoso problema.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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