{"id":1319,"date":"2019-09-14T06:59:19","date_gmt":"2019-09-14T06:59:19","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1319"},"modified":"2019-09-14T07:09:39","modified_gmt":"2019-09-14T07:09:39","slug":"solucion-a-ecuacion-de-enteros","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/09\/14\/solucion-a-ecuacion-de-enteros\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n de enteros"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la prueba Putnam para estudiantes de grado (2018)\r\nSe dirige a una edad de 18-22 a\u00f1os<\/pre>\n
Encuentra todos los pares ordenados (a, b) de enteros positivos para los que se cumple 1\/a + 1\/b = 3\/2018.
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\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLa competici\u00f3n Putnam es una prestigiosa prueba de matem\u00e1ticas en la que participan estudiantes de muchas universidades americanas (de Estados Unidos y de Canad\u00e1). La organiza la asociaci\u00f3n Mathematical Asotiation of America (MAA), el primer s\u00e1bado de diciembre desde 1938, y otorga diversos premios tanto individuales como a las universidades de procedencia. Podemos encontrar m\u00e1s informaci\u00f3n en la web de la MAA (www.maa.org<\/a>).<\/p>\n
Me llam\u00f3 la atenci\u00f3n este problema, que no parec\u00eda tan dif\u00edcil como otros destinados a participantes m\u00e1s j\u00f3venes. Vamos a ver c\u00f3mo se puede abordar.<\/p>\n
Como en otras ocasiones, nuestro colaborador Javier Nistal nos manda una soluci\u00f3n propia, que incluyo al final.<\/p>\n
Para trabajar con variable entera, una de las opciones es eliminar los denominadores, reduciendo a denominador com\u00fan y eliminando \u00e9ste, con lo que queda 2018b + 2018a = 3ab. A partir de ah\u00ed, puesto que se trata de una ecuaci\u00f3n de segundo grado, deber\u00edamos tratar de factorizarla para poder abordarla como una de primer grado. <\/p>\n
Dejamos esta ecuaci\u00f3n como 3ab \u2013 2018a \u2013 2018b = 0. Si el primer t\u00e9rmino debe aparecer como el producto de dos expresiones de primer grado, uno de los t\u00e9rminos deber\u00eda ser, por ejemplo, 3a, y el otro b, es decir, que 3ab \u2013 2018a \u2013 2018b deber\u00eda ser similar a (3a + t)(b + s). Pensando que debemos obtener -2018b, t debe ser -2018, y como 2018 no es m\u00faltiplo de 3, s debe ser la fracci\u00f3n negativa -2018\/3. Pero en ese caso, falta un cuarto sumando, que ser\u00eda el producto de t y s, es decir, 2018\u00b2\/3.<\/p>\n
De esta forma, si sumamos ese t\u00e9rmino a la igualdad que tenemos (en artofproblemsolving<\/a> llaman a esta estrategia de forma abreviada SFFT, el truco de factorizaci\u00f3n favorito del doctor Simon), tendr\u00edamos que 3ab \u2013 2018a \u2013 2018b + 2018\u00b2\/3 =  2018\u00b2\/3, es decir, que (3a \u2013 2018)(b \u2013 2018\/3) = 2018\u00b2\/3.<\/p>\n
Como no queremos tener fracciones, multiplicamos por 3 a ambos lados (recuerda que si multiplicamos un producto, basta multiplicar uno de los factores, pero que si es una suma, debemos multiplicar ambos), y tenemos la expresi\u00f3n (3a \u2013 2018)(3b \u2013 2018) = 2018\u00b2.<\/p>\n
Ahora, estudiemos el n\u00famero 2018\u00b2 y todas sus posibles factorizaciones. Probablemente, no todas ellas den valores adecuados para a y b, y tambi\u00e9n deberemos tener en cuenta que a y b deben ser positivos. Puesto que 2018 = 2\u00b71009, las descomposiciones ser\u00e1n las siguientes:<\/p>\n
1\u00b72018\u00b2<\/p>\n
2\u00b7(2\u00b71009\u00b2)<\/p>\n
4\u00b7(1009\u00b2)<\/p>\n
1009\u00b74036<\/p>\n
2018\u00b72018<\/p>\n
Luego estar\u00edan las mismas con ambos n\u00fameros negativos, y las cuatro primeras en el orden contrario, que producir\u00edan los mismos a y b.<\/p>\n
Para calcular ahora los n\u00fameros, hay que tener en cuenta que en un momento determinado, deberemos dividir por 3, y para eso, el n\u00famero adecuado debe ser divisible por 3. Es decir, que como 2018 tiene un resto m\u00f3dulo 3 de 2, 3a \u2013 2018 debe tener un resto de 1, y 3b \u2013 2018 tambi\u00e9n. Eso descarta las factorizaciones que tienen un factor 2 y un factor 2018, por lo que quedan las siguientes:<\/p>\n
1\u00b7 2018\u00b2, en las que a = 2019\/3 = 673, y b = (2018\u00b2 + 2018)\/3 = 1358114 (o al contrario).<\/p>\n
4\u00b71009\u00b2, en las que a = 2022\/3 = 674, y b = (1009\u00b2 + 2018)\/3 = 340033 (o al contrario).<\/p>\n
1009\u00b74036, en las que a = (1009 + 2018)\/3 = 1009 y b = (4036 + 2018)\/3 = 2018 (o al contrario).<\/p>\n
Las factorizaciones con n\u00fameros negativos contienen uno de los dos factores negativos y menores o iguales que 2018, con lo que los n\u00fameros a y b correspondientes no pueden ser positivos.<\/p>\n
Por lo tanto, los pares ordenados son 6:<\/p>\n
(673, 1358114), (674, 340033) y (1009, 2018), y los mismos pares en orden inverso.<\/p>\n
En la soluci\u00f3n de Javier, trata de mantener a y b como un producto del divisor m\u00e1ximo com\u00fan por los factores distintivos, as\u00ed a = m\u00b7a’, y b = m\u00b7b’, siendo que a’ y b’ no tienen divisores comunes. Buscamos primero los casos en que a es menor o igual, aunque b y a pueden intercambiar valores y obtenemos nuevos pares ordenados.<\/p>\n
La igualdad de fracciones lleva a que a’b’ divide a 2018, de forma que considera los casos siguientes:<\/p>\n
a’b’ = 1 lleva a una situaci\u00f3n contradictoria, ya que a= 2\u00b72018\/3<\/p>\n
De la misma forma, a’b’ = 1009 lleva a otra situaci\u00f3n contradictoria.<\/p>\n
a’b’ = 2018 lleva a los casos en que a = 673 y a = 674.<\/p>\n
Y, por \u00faltimo, a’b’ = 2 lleva al caso en que a = 1009.<\/p>\n
Evidentemente, los casos en los que b es menor que a son los mismos y hay que incluirlos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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