{"id":1338,"date":"2019-09-28T11:58:22","date_gmt":"2019-09-28T11:58:22","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1338"},"modified":"2019-09-28T11:58:22","modified_gmt":"2019-09-28T11:58:22","slug":"solucion-a-maximo-y-minimo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/09\/28\/solucion-a-maximo-y-minimo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a m\u00e1ximo y m\u00ednimo"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de an\u00e1lisis de primer nivel de los premios Jorge Juan de la Universidad de Alicante (2019)\r\nSe dirige a una edad de 18-20 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea f una funci\u00f3n continua del intervalo [-2019, 2019] en el conjunto de los n\u00fameros reales.<\/p>\n
Demuestra que el conjunto X = {x \u2208 [-2019, 2019] : f(x) = f(-x)} tiene m\u00ednimo y m\u00e1ximo, y que se verifica m\u00e1x(X) + m\u00edn(X) = 0.
\n\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
\n
\nLa competici\u00f3n Jorge Juan es una prueba de matem\u00e1ticas en la que participan estudiantes de varias universidades espa\u00f1olas. La organiza la Universidad de Alicante.<\/p>\n
Como en otras competiciones universitarias, es preciso que se conozcan algunos resultados previos y definiciones para poder trabajar.<\/p>\n
Si dominas esos resultados previos, solucionar este ejercicio no es muy complicado, aunque puede ser algo sorprendente.<\/p>\n
Hay un par de resultados necesarios para este problema que es posible que los alumnos preuniversitarios no conozcan, aunque son bastante razonables. Toda sucesi\u00f3n real mon\u00f3tona acotada tiene l\u00edmite, y todo conjunto de n\u00fameros reales acotado tiene supremo e \u00ednfimo, es decir, que hay un valor real m\u00e1ximo que es inferior o igual a todos sus elementos (\u00ednfimo), y un valor real m\u00ednimo que es mayor o igual que todos sus elementos (supremo). Sin embargo, estos valores reales pueden estar en el conjunto, o no. Ambos resultados se deducen de una definici\u00f3n rigurosa de lo que es un n\u00famero real, ya que se basan en la convergencia de sucesiones.<\/p>\n
El que f sea continua nos dice que si aplicamos la funci\u00f3n a una sucesi\u00f3n con l\u00edmite, el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n de im\u00e1genes existe y coincide con la imagen del l\u00edmite, es decir, que podemos conmutar l\u00edmite y funci\u00f3n.
\nEvidentemente, X es no vac\u00edo pues 0 pertenece a \u00e9l (recuerda que 0 = -0).<\/p>\n
Por otra parte, si partimos de cualquier sucesi\u00f3n de elementos de X que tenga l\u00edmite, veamos que el l\u00edmite pertenece a X,<\/p>\n
Ese l\u00edmite ser\u00e1 mayor o igual que -2019, por lo que la funci\u00f3n estar\u00e1 definida en \u00e9l, y puesto que la funci\u00f3n es continua, se cumple que el l\u00edmite de las im\u00e1genes existe, y es igual, por estar en el conjunto, al l\u00edmite de las im\u00e1genes de las mismas sucesi\u00f3n opuesta, que coincidir\u00e1 con la imagen del opuesto del l\u00edmite. Por eso pertenecer\u00e1 al conjunto.<\/p>\n
Matem\u00e1ticamente. Veamos que L =l\u00edm(xn<\/sub>) pertenece al conjunto. Por eso, f(L) = f(l\u00edm(xn<\/sub>)) = l\u00edm(f(xn<\/sub>)) = lim f(-xn<\/sub>) = f(lim(-xn<\/sub>)) = f(-L). Luego L pertenece a X.<\/p>\n
Puesto que X est\u00e1 acotado, tiene \u00ednfimo y supremo. Podemos construir dos sucesiones de elementos de X que est\u00e9 m\u00e1s pr\u00f3xima a los \u00ednfimos y supremos que 1\/n, por lo que esas sucesiones tendr\u00edan por l\u00edmites el \u00ednfimo y el supremo, que as\u00ed ser\u00edan el m\u00ednimo y el m\u00e1ximo respectivamente de X, puesto que pertenecer\u00edan al conjunto.<\/p>\n
Por \u00faltimo, veamos que estos dos n\u00fameros, que para abreviar llamaremos m y n, verifican la \u00faltima igualdad.<\/p>\n
Evidentemente, puesto que m pertenece a X, -m tambi\u00e9n pertenece, y lo mismo para n (- n pertenece a X).<\/p>\n
Como m es m\u00ednimo, -n \u2265 m, por lo que -m \u2265 n, pero como n es m\u00e1ximo, n \u2265 -m, por lo que tenemos que ambos valores coinciden. Es decir, que m = -n.<\/p>\n
Por lo tanto m\u00edn(X) + m\u00e1x(X) =0, como quer\u00edamos demostrar.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 1 de an\u00e1lisis de primer nivel de los premios Jorge Juan de la Universidad de Alicante (2019) Se dirige a una edad de 18-20 a\u00f1os Sea f una funci\u00f3n continua del intervalo [-2019, 2019] en el conjunto de los n\u00fameros reales. Demuestra que el conjunto X = {x \u2208 [-2019, 2019] : f(x) = […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[122977,1738,2849,3303,182],"tags":[],"class_list":["post-1338","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-jorge-juan","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones","category-universidad"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1338","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1338"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1338\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1339,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1338\/revisions\/1339"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1338"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1338"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1338"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}