{"id":1423,"date":"2019-12-14T11:36:03","date_gmt":"2019-12-14T11:36:03","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1423"},"modified":"2019-12-14T11:36:03","modified_gmt":"2019-12-14T11:36:03","slug":"solucion-a-numeros-consecutivos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2019\/12\/14\/solucion-a-numeros-consecutivos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros consecutivos"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 3 del nivel B de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Consideramos 13 n\u00fameros enteros consecutivos y las afirmaciones siguientes:<\/p>\n<p>a) El n\u00famero central es la media de los que ocupan las posiciones 6\u00aa y 8\u00aa.<\/p>\n<p>b) La suma de todos los n\u00fameros es divisible por 13.<\/p>\n<p>c) Al menos cuatro de ellos son divisibles por 3.<\/p>\n<p>d) Siete son pares.<\/p>\n<p>e) La mediana de esta serie de n\u00fameros es la media de los dos extremos.<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1les de estas afirmaciones no son siempre verdaderas?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1420\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/12\/123.Consecutivos.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/12\/123.Consecutivos.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2019\/12\/123.Consecutivos-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\n(a) Es cierta, ya que si n es el n\u00famero central, los de las posiciones 6 y 8 son n \u2013 1 y n + 1, y claramente n = ((n \u2013 1) + (n + 1))\/2.<\/p>\n<p>(b) Otra afirmaci\u00f3n cierta. Veamos c\u00f3mo nos aseguramos.<\/p>\n<p>Para sumar 13 n\u00fameros consecutivos, se puede emplear la estrategia de la suma de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica, y tendremos que (llamando n \u2013 6 al primero y n + 6 al \u00faltimo, tomando la idea del apartado anterior) la suma ser\u00e1 ((n \u2013 6) + (n + 6))\u00b713\/2 = 2n\u00b713\/2 = 13n.<\/p>\n<p>Evidentemente, ser\u00e1 13 veces el n\u00famero central, luego ser\u00e1 un m\u00faltiplo de 13.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n se puede confirmar para un ejemplo, y, puesto que para lograr otro, basta sumar la misma cantidad a cada uno de los 13 n\u00fameros, siempre ser\u00e1 m\u00faltiplo de 13 si uno (que se puede confirmar manualmente) lo es.<\/p>\n<p>(c) De nuevo es cierto. Para convencernos hay que tener en cuenta que los m\u00faltiplos de 3 aparecen cada 3 n\u00fameros y pensar en los casos m\u00e1s extremos.<\/p>\n<p>En efecto, si empezamos por el siguiente a un m\u00faltiplo de 3, que es el caso en el que menos abundantes podr\u00edan ser, ya que habr\u00eda dos no m\u00faltiplos antes de encontrar el primero, al llegar al que ocupa la posici\u00f3n 12 tendr\u00edamos ya el cuarto m\u00faltiplo de 3.<\/p>\n<p>Si empezamos en el anterior a un m\u00faltiplo de 3, en la posici\u00f3n 11 encontrar\u00edamos ya el cuarto.<\/p>\n<p>El caso en el que m\u00e1s m\u00faltiplos de 3 encontramos es 5, si empezamos por un m\u00faltiplo de 3, ya que en ese caso en la posici\u00f3n 10 encontramos el cuarto, y en la 13 habr\u00eda otro m\u00e1s.<\/p>\n<p>(d) En este caso, la afirmaci\u00f3n es falsa, ya que podemos hay un par cada dos n\u00fameros, y podemos empezar con un n\u00famero impar y obtener siete impares y seis pares, por ejemplo 1 \u2013 2 \u2013 3 \u2013 4 \u2013 5 \u2013 6 \u2013 7 \u2013 8 \u2013 9 \u2013 10 \u2013 11 \u2013 12 \u2013 13.<\/p>\n<p>(e) Es cierta la afirmaci\u00f3n, como en el caso (a). De nuevo, llamando n al valor central (mediana), los extremos ser\u00edan n \u2013 6 y n + 6, con lo que la media ser\u00eda ((n \u2013 6) + (n + 6))\/2 = 2n\/2 = n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 3 del nivel B de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os Consideramos 13 n\u00fameros enteros consecutivos y las afirmaciones siguientes: a) El n\u00famero central es la media de los que ocupan las posiciones 6\u00aa y 8\u00aa. b) La suma de todos los [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242020,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1423","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-de-la-comunidad-valenciana","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1423","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1423"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1423\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1425,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1423\/revisions\/1425"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1423"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1423"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1423"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}