{"id":1459,"date":"2020-01-04T16:33:56","date_gmt":"2020-01-04T16:33:56","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1459"},"modified":"2020-01-04T16:33:56","modified_gmt":"2020-01-04T16:33:56","slug":"solucion-a-cinco-puntos-en-una-circunferencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/01\/04\/solucion-a-cinco-puntos-en-una-circunferencia\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a cinco puntos en una circunferencia"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la Fase Catalana de la OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Cinco puntos, P, P1, P2, P3 y P4, est\u00e1n sobre la misma circunferencia.<\/p>\n
Demuestra que el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 es igual al producto de las distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4.<\/p>\n
(En la imagen se puede acceder a un ejemplo interactivo, en el que se pueden mover los puntos)
\n\"\"<\/a>
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nHay muchas aproximaciones a este problema.<\/p>\n
Una de ellas consiste en parametrizar los cuatro puntos con expresiones trigonom\u00e9tricas, situando el eje de coordenadas sobre el centro de la circunferencia, de forma que el punto P, por ejemplo, est\u00e9 situado en el punto de coordenadas (1,0). A partir de ah\u00ed, se trata de calcular el valor de estas dos distancias en funci\u00f3n de los \u00e1ngulos que se forman desde el centro por los otros cuatro puntos y comprobar que la expresi\u00f3n es realmente la misma. Sin embargo, las expresiones son lo suficientemente complejas para que cualquier error produjese una gran p\u00e9rdida de tiempo.<\/p>\n
La forma que m\u00e1s me gusta es trabajar s\u00f3lo con tres puntos inicialmente, por ejemplo, P, A y B. Todos ellos est\u00e1n en una circunferencia, y se trata de escribir de otra forma la distancia de P a la recta AB. Por ejemplo, vemos que la distancia se puede calcular como PA*sin(PAB) o como PB*sin(PBA).<\/p>\n
El hecho de que salga el seno en la f\u00f3rmula, nos puede sugerir relacionarlo con el teorema del seno, y recordar de d\u00f3nde podemos deducir la famosa igualdad (que en este caso dir\u00eda que PA\/sin(PBA) = PB\/sin(PAB) = AB\/sin(APB).<\/p>\n
\u00bfPor qu\u00e9 esto es as\u00ed? Una demostraci\u00f3n cl\u00e1sica dice, que puesto que estos tres puntos est\u00e1n en una circunferencia (todos los v\u00e9rtices de un tri\u00e1ngulo lo est\u00e1n), el \u00e1ngulo PAB, por ejemplo, siempre vale lo mismo, aunque el punto A se mueva por el arco de la circunferencia, de forma que podemos situarlo de forma que el lado PA pase por el centro, de forma que su medida ser\u00e1 exactamente 2R (ya que ser\u00e1 un di\u00e1metro). Pero, de esta forma, el seno ser\u00e1 PB\/2R, puesto que se tratar\u00e1 de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo. Luego PB\/sin(PAB) = 2R. De forma an\u00e1loga, se dan las otras igualdades. Lo importante es que todos estos cocientes valen lo mismo, 2R. De forma que sin(PAB) lo podemos calcular como PB\/2R. En un tri\u00e1ngulo gen\u00e9rico, este valor de R depender\u00eda del tri\u00e1ngulo, pero en este caso, todos los tri\u00e1ngulos est\u00e1n sobre la misma circunferencia.
\n\"\"
\nEn el caso en que P y B est\u00e9n en el mismo lado que A del di\u00e1metro, la igualdad se da tambi\u00e9n, aunque no es tan evidente.<\/p>\n
En nuestro caso, eso significa que la distancia de P a la recta AB se puede escribir como PA\u00b7sin(PAB) = PA\u00b7PB\/(2R).<\/p>\n
En el contexto del problema, el producto de la distancia desde P a la recta P1P2 por la distancia desde P a la recta P3P4 se podr\u00eda escribir entonces como (PP1\u00b7PP2\/(2R))\u00b7(PP3\u00b7PP4\/(2R)) = (PP1\u00b7PP2\u00b7PP3\u00b7PP4)\/(4R\u00b2), ya que ambos tri\u00e1ngulos est\u00e1n sobre la misma circunferencia.<\/p>\n
Y, claro, la distancia desde P a la recta P1P3 por la distancia desde P a la recta P2P4 nos proporciona el mismo resultado, (PP1\u00b7PP3\/(2R))\u00b7(PP2\u00b7PP4\/(2R)) = (PP1\u00b7PP2\u00b7PP3\u00b7PP4)\/(4R\u00b2).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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