{"id":1479,"date":"2020-01-19T07:54:20","date_gmt":"2020-01-19T07:54:20","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1479"},"modified":"2021-01-17T12:43:31","modified_gmt":"2021-01-17T12:43:31","slug":"solucion-a-conjunto-bescanoni","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/01\/19\/solucion-a-conjunto-bescanoni\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a conjunto bescanon\u00ed"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sea n= 2<sup>k<\/sup> un n\u00famero entero positivo.<\/p>\n<p>Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, \u2026, n} es bescanon\u00ed si cumple que<\/p>\n<p>1) El n\u00famero 1 pertenece al conjunto.<\/p>\n<p>2) Si un n\u00famero x pertenece al conjunto, entonces 2x no pertenece al conjunto.<\/p>\n<p>Se pide:<\/p>\n<p>a) Encontrar un conjunto bescanon\u00ed con el m\u00e1ximo n\u00famero de elementos cuando n = 2\u2075.<\/p>\n<p>b) Calcular el m\u00e1ximo n\u00famero de elementos que puede tener un conjunto bescanon\u00ed en funci\u00f3n de k.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1475\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/01\/128.Bescanoni.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/01\/128.Bescanoni.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/01\/128.Bescanoni-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nLa idea central es que debemos elegir si un n\u00famero x o 2x pertenece al conjunto, ya que ambos simult\u00e1neamente no pueden pertenecer.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, puesto que queremos conjuntos con el mayor n\u00famero de elementos, siempre optaremos porque x pertenezca, ya que en muchos casos la cantidad de elementos ser\u00e1 la misma, y en ocasiones nos impedir\u00e1 que 4x pertenezca al conjunto, si optamos porque sea 2x en lugar de x el que forme parte del conjunto.<\/p>\n<p>En el caso de k = 5, n = 32, y el conjunto con m\u00e1s elementos estar\u00e1 formado por {1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 31}. Hay m\u00e1s conjuntos con la misma cantidad de elementos, cambiando el 16 por el 32, pero tambi\u00e9n podemos cambiar 15 por 30, o 26 por 13, por ejemplo.<\/p>\n<p>Por lo tanto, tenemos una respuesta para (a), y es uno de estos conjuntos de 21 elementos.<\/p>\n<p>Para la respuesta de (b), podemos observar que podemos situar en el conjunto que construimos a todos los impares, que ser\u00e1n 2<sup>k \u2013 1<\/sup>, pero la mitad de los pares (2<sup>k &#8211; 2<\/sup>) no podemos situarlos (los que son m\u00faltiplos de 2, pero no de 4, ya que sus mitades ser\u00e1n impares y pertenecer\u00e1n al conjunto). Sin embargo, los que son m\u00faltiplos de 4 (pero no de 8) s\u00ed podremos incluirlos (son 2<sup>k &#8211; 3<\/sup>), y los que son m\u00faltiplos de 8 (pero no de 16), no. Y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n<p>Contando todas estas cantidades, tendremos 2<sup>k \u2013 1<\/sup> + 2<sup>k \u2013 3<\/sup> + 2<sup>k \u2013 5<\/sup> + &#8230; + 2<sup>k \u2013 2\u00b7[k\/2] + 1<\/sup>. Si nos fijamos, el \u00faltimo t\u00e9rmino puede valer 2 o 1, ya que depende de que k sea par o impar.<\/p>\n<p>Se trata, entonces, de la suma de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica de raz\u00f3n 1\/4, Si k es par, la suma (aplicando la f\u00f3rmula correspondiente, o bien reproduciendo el razonamiento mediante la estrategia de multiplicar por 4 y restar), da (2<sup>k + 1<\/sup> \u2013 2)\/3, o bien si k es impar (2<sup>k + 1<\/sup> \u2013 1)\/3, pues depende del \u00faltimo elemento de la suma.<\/p>\n<p>Si nos damos cuenta, en realidad se tratar\u00e1 de la parte entera de 2<sup>k + 1<\/sup>\/3, en cualquier caso, ya que este n\u00famero nunca ser\u00e1 un entero.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 de la Fase Catalana de la OME 2019 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea n= 2k un n\u00famero entero positivo. Se dice que un subconjunto A de {1, 2, 3, \u2026, n} es bescanon\u00ed si cumple que 1) El n\u00famero 1 pertenece al conjunto. 2) Si un n\u00famero x pertenece [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1479","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1479","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1479"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1479\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1906,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1479\/revisions\/1906"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1479"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1479"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1479"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}