{"id":1507,"date":"2020-02-08T16:35:15","date_gmt":"2020-02-08T16:35:15","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1507"},"modified":"2020-02-08T16:35:15","modified_gmt":"2020-02-08T16:35:15","slug":"solucion-a-ecuacion-con-enteros","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/02\/08\/solucion-a-ecuacion-con-enteros\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n con enteros"},"content":{"rendered":"
Problema 3 de la Fase Catalana de la OME 2019\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Encontrar los valores del n\u00famero entero positivo n para los cuales la ecuaci\u00f3n xn<\/sup> + (2 + x)n<\/sup> + (2 \u2013 x)n<\/sup> = 0 tiene soluci\u00f3n entera.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLo primero que debemos hacer es estudiar valores peque\u00f1os de n para llegar a alguna conjetura previa.<\/p>\n
Para n = 1, tenemos la ecuaci\u00f3n x + 2 + x + 2 \u2013 x = 0, que evidentemente nos proporciona la soluci\u00f3n x = -4, que es entera.<\/p>\n
Sin embargo, para n = 2, tenemos la suma de tres n\u00fameros diferentes y positivos, pues son cuadrados, que deben dar 0, por lo que no debe existir ninguna soluci\u00f3n real, mucho menos entera. Esto nos ayuda a descartar los valores pares de n en general.<\/p>\n
Para n = 3, tenemos un desarrollo que ya nos puede dar alguna idea. Al desarrollar las potencias, tenemos x\u00b3 + x\u00b3 + 6x\u00b2 + 12x + 8 + 8 \u2013 12x + 6x\u00b2 \u2013 x\u00b3 = 0, es decir, que x\u00b3 + 12x\u00b2 + 16 = 0. Para averiguar si tiene o no soluci\u00f3n entera, podemos aplicar el criterio de Ruffini para valores divisores de 16. Adem\u00e1s, evidentemente, debemos descartar los valores positivos, en los que no va a dar una soluci\u00f3n debido a que todos los sumandos ser\u00e1n positivos.<\/p>\n
En general, debemos buscar valores de n impares, y el t\u00e9rmino independiente que obtendr\u00edamos siempre ser\u00e1 2\u00b72n<\/sup>, ya que sumaremos dos veces el sumando 2n<\/sup>. Luego, si existen soluciones enteras, deber\u00e1n estar en el conjunto de los opuestos de las potencias de 2 hasta 2n + 1<\/sup>.<\/p>\n
Adem\u00e1s, por el desarrollo del Binomio de Newton, los sumandos de todos los desarrollos son id\u00e9nticos, excepto en el signo, de forma que los que ocupan una posici\u00f3n impar, que les hace tener un signo negativo en el caso del segundo desarrollo, se anular\u00e1n, y los otros son todos positivos. Por  lo que la suma ser\u00e1 un polinomio con todos sus coeficientes positivos. Y eso quiere decir que las \u00fanicas potenciales ra\u00edces deben ser negativas.<\/p>\n
Vamos a cambiar signos en la variable del polinomio para buscar valores positivos en lugar de negativos. De esta forma hay que anular, para valores de n impares y mayores que 1, el polinomio (2 + x)n<\/sup> + (2 \u2013 x)n<\/sup> \u2013 xn<\/sup> para valores de x potencias de 2.<\/p>\n
Evidentemente, para x = 1 no se anula en ning\u00fan n (da 3n<\/sup>).<\/p>\n
Para x = 2 tampoco, pues da 4n<\/sup> \u2013 2n<\/sup>.<\/p>\n
Para otras potencias (t mayor que 1), la expresi\u00f3n queda (2 + 2t<\/sup>)n<\/sup> + (2 \u2013 2t<\/sup>)n<\/sup> \u2013 (2t<\/sup>)n<\/sup> = 2n<\/sup>[(1 + 2t \u2013 1<\/sup>)n<\/sup> + (1 \u2013 2t \u2013 1<\/sup>)n<\/sup> \u2013 (2t \u2013 1<\/sup>)n<\/sup>]. Puesto que en ese producto el factor 2n<\/sup> no se anula, para dar 0 debe darse que (1 + 2t \u2013 1<\/sup>)n<\/sup> + (1 \u2013 2t \u2013 1<\/sup>)n<\/sup> \u2013 (2t \u2013 1<\/sup>)n<\/sup> se anula, pero t es mayor que 1, y n es mayor que 2 (e impar). Todos los sumandos que salgan de ese desarrollo van a tener un factor 4 al menos, excepto los dos 1, que sumar\u00e1n 2. Eso quiere decir que nunca se van a anular, puesto que sumando m\u00faltiplos de cuatro nunca podremos obtener 2 (tambi\u00e9n podemos razonar m\u00f3dulo 4, es decir, por restos de 4).<\/p>\n
Nos recuerda Abel Do\u00f1ate que este \u00faltimo punto se puede usar (aunque sea un teorema muy reciente, y que requiere una enorme teor\u00eda detr\u00e1s para refrendarlo) el Teorema de Fermat-Wiles (tambi\u00e9n conocido como \u00faltimo teorema de Fermat), ya que para que esta ecuaci\u00f3n tuviera una ra\u00edz entera, deber\u00edan existir dos enteros elevados a una cierta potencia cuya suma fuera otra potencia del mismo orden, cosa que sabemos que no sucede.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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