{"id":1521,"date":"2020-02-15T06:35:57","date_gmt":"2020-02-15T06:35:57","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1521"},"modified":"2020-02-15T06:35:57","modified_gmt":"2020-02-15T06:35:57","slug":"solucion-a-no-acaba-en-uno","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/02\/15\/solucion-a-no-acaba-en-uno\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a no acaba en uno"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Dado un n\u00famero natural n &gt; 1 realizamos la siguiente operaci\u00f3n: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5.<\/p>\n<p>Si el n\u00famero obtenido tras esta operaci\u00f3n es 1, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operaci\u00f3n, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n<p>Determinar todos los valores de n para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a 1 en alg\u00fan momento.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1516\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/02\/132.Noacabaenuno.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/02\/132.Noacabaenuno.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/02\/132.Noacabaenuno-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nUn problema bastante sencillo que tiene cierta relaci\u00f3n con una de las conjeturas a\u00fan no probadas m\u00e1s famosas en matem\u00e1tica, la de Collatz, sobre la que se acababa de hacer un serio avance en las fechas en las que se convoc\u00f3 esta prueba.<\/p>\n<p>Probando con los n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os, generamos secuencias muy sencillas (2, 1), (3, 8, 4, 2, 1), (4, 2, 1), (5, 10, 5, &#8230;), (6, 3, 8, 4, 2, 1), (7, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1), (8, 4, 2, 1), (9, 14, 7, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1) y (10, 5, 10, &#8230;).<\/p>\n<p>R\u00e1pidamente hacemos una conjetura: los m\u00faltiplos de 5 no pertenecen a este conjunto, mientras que los que no lo son s\u00ed que siguen un proceso finito.<\/p>\n<p>Con esta respuesta dar\u00eda para alg\u00fan punto de los 7 que dan por el problema, pero hace falta probar dos afirmaciones de forma rigurosa para ganar todos los puntos: que los m\u00faltiplos de 5 generan un proceso no finito, y que los no m\u00faltiplos de 5 s\u00ed que generan un proceso finito.<\/p>\n<p>Ver que los m\u00faltiplos de 5 generan un proceso infinito es sencillo, ya que tanto dividirlos entre 2 si son pares, como sumarles 5 si son impares genera otro m\u00faltiplo de 5, luego no pueden llegar nunca a 1, que no es m\u00faltiplo de 5, por lo que el proceso no se detiene.<\/p>\n<p>Vayamos con los que no son m\u00faltiplo de 5. De la misma forma que para los m\u00faltiplos de 5 (y por las mismas razones), los n\u00fameros de la secuencia que generemos tampoco ser\u00e1n m\u00faltiplos de 5.<\/p>\n<p>Supongamos que un n\u00famero mayor de 6 (los menores est\u00e1 claro que lo cumplen) no es m\u00faltiplo de 5 y genera una secuencia no finita. En ese caso, tomemos n como el menor de tales n\u00fameros.<\/p>\n<p>No puede ser par, ya que el siguiente de la secuencia genera tambi\u00e9n una secuencia infinita (la misma, de hecho), y es menor (y hab\u00edamos supuesto que era el menor).<\/p>\n<p>Pero si es impar, el siguiente de la secuencia ser\u00eda 5 + n, que es par, y al dividirlo entre 2 para generar el siguiente obtendr\u00edamos un n\u00famero (5 + n)\/2, que tambi\u00e9n genera una secuencia infinita. Veamos que este n\u00famero (5 + n)\/2 es menor que n. En efecto, si (5 + n)\/2 &gt;= n, entonces, 5 + n &gt;= 2n, es decir, 5 &gt;= 2n \u2013 n = n, es decir, n ser\u00eda menor que 5, y sabemos que eso no es as\u00ed, por lo que tampoco puede ser impar.<\/p>\n<p>Un proceso similar se podr\u00eda probar por inducci\u00f3n, siguiendo pasos muy parecidos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Dado un n\u00famero natural n &gt; 1 realizamos la siguiente operaci\u00f3n: si n es par, lo dividimos entre 2; si n es impar, le sumamos 5. 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