{"id":1532,"date":"2020-02-22T11:24:12","date_gmt":"2020-02-22T11:24:12","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1532"},"modified":"2020-02-22T11:24:12","modified_gmt":"2020-02-22T11:24:12","slug":"solucion-a-sumas-positivas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/02\/22\/solucion-a-sumas-positivas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a sumas positivas"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 de la Fase Local de la LVI OME 2020\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sean a<sub>1<\/sub>, a<sub>2<\/sub>, \u2026, a<sub>2020<\/sub> 2020 n\u00fameros reales de manera que la suma de 1009 de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los 2020 n\u00fameros tambi\u00e9n es positiva.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1525\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/02\/133.Sumaspositivas.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/02\/133.Sumaspositivas.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/02\/133.Sumaspositivas-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nSe trata de un problema te\u00f3rico, pero muy sencillo. Algo similar se puede tratar de modelizar con 8 n\u00fameros, tratando de que la suma de tres cualesquiera salga positiva. Muy pronto caeremos en que de ninguna forma se pueden elegir y que la suma de los 8 salga negativa, y comprobaremos por qu\u00e9: hay demasiados positivos. En esas condiciones, s\u00f3lo puede haber un m\u00e1ximo de 2 negativos.<\/p>\n<p>De hecho, puesto que 1009 + 1009 = 2018 = 2020 \u2013 2, basta encontrar dos positivos, y dividir los dem\u00e1s en dos grupos de 1009, ya que la suma de los dos n\u00fameros positivos y los otros dos grupos de 1009, que seg\u00fan el enunciado suman un n\u00famero positivo, dar\u00eda un resultado claramente positivo.<\/p>\n<p>Hay varias maneras, suponer que los ordenamos era una de las m\u00e1s sencillas. Puesto que la suma de los 1009 m\u00e1s bajos da positiva, al menos uno de ellos ha de ser positivo, y a partir del que ocupa la posici\u00f3n 1010 todos ser\u00edan mayores, es decir, positivos.<\/p>\n<p>Otra forma es suponer que hay 1009 negativos. En ese caso, eligiendo esos 1009 contradecir\u00eda el que la suma de 1009 cualesquiera es positiva, con lo que es imposible. Por tanto hay menos de 1009 negativos, y por lo tanto hay, no s\u00f3lo 2, si no 1012 positivos con seguridad, ya que a lo sumo hay 1008 negativos (de hecho se puede dise\u00f1ar un conjunto as\u00ed, basta tomar 1008 iguales a -1, y todos los dem\u00e1s 2000, por ejemplo).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sean a1, a2, \u2026, a2020 2020 n\u00fameros reales de manera que la suma de 1009 de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los 2020 n\u00fameros tambi\u00e9n es positiva. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1532","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1532","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1532"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1532\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1534,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1532\/revisions\/1534"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1532"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1532"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1532"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}