{"id":1554,"date":"2020-03-08T12:38:59","date_gmt":"2020-03-08T12:38:59","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1554"},"modified":"2020-03-08T12:38:59","modified_gmt":"2020-03-08T12:38:59","slug":"solucion-a-polinomio-positivo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/03\/08\/solucion-a-polinomio-positivo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a polinomio positivo"},"content":{"rendered":"
Problema 4 de la Fase Local de la LVI OME 2020\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Consideramos el siguiente polinomio para los valores reales a, b y c:<\/p>\n
p(x) = (x \u2013 a)(x \u2013 b) + (x \u2013 b)(x \u2013 c) + (x \u2013 c)(x \u2013 a).<\/p>\n
Demuestra que p(x) >= 0 para todo x real si y solamente si a = b = c.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nOtro problema muy interesante de la fase local.<\/p>\n
Est\u00e1 claro que hay que demostrar dos cosas. La m\u00e1s sencilla, es que si a = b = c, entonces, p(x) da valores no negativos.<\/p>\n
La segunda, que si p(x) da valores no negativos, entonces a = b = c.<\/p>\n
Veamos la primera. Al darse la igualdad, sustituyendo en la f\u00f3rmula de p(x), tenemos que p(x) = (x \u2013 a)(x \u2013 a) + (x \u2013 a)(x \u2013 a) + (x \u2013 a)(x \u2013 a) = (x \u2013 a)\u00b2 + (x \u2013 a)\u00b2 + (x \u2013 a)\u00b2 = 3(x \u2013 a)\u00b2, que es claramente no negativo (3 es positivo y (x \u2013 a)\u00b2 es no negativo por ser un n\u00famero real al cuadrado.<\/p>\n
Ahora bien, para demostrar la otra implicaci\u00f3n hay que pensar un poco. Vamos a hacerlo por reducci\u00f3n al absurdo. Supongamos que no es cierta la afirmaci\u00f3n. Entonces, puede que los tres n\u00fameros a, b, c sean diferentes, o que haya uno igual a otro y otro diferente de ambos.<\/p>\n
La forma de llegar a una contradicci\u00f3n variar\u00e1 seg\u00fan estemos en un caso u otro.<\/p>\n
Si los tres son diferentes, supongamos que a < b < c (dada la simetr\u00eda de la f\u00f3rmula de p(x), ser\u00eda indiferente cualquier otro orden). Resulta que p(b) = (b \u2013 a)(b \u2013 b) + (b \u2013 b)(b \u2013 c) + (b \u2013 c)(b \u2013 a) =  (b \u2013 c)(b \u2013 a) , pero b \u2013 c es negativo y b \u2013 a es positivo, por lo que el producto es p(b) y es negativo, de ah\u00ed la contradicci\u00f3n y el absurdo.<\/p>\n
Luego los tres n\u00fameros no pueden ser diferentes. Ahora bien, si uno es diferente de los otros, pero ambos son iguales, supongamos que se da que a = b, pero c es diferente de los dos.<\/p>\n
En ese caso, p(x) = (x \u2013 a)(x \u2013 a) + (x \u2013 a)(x \u2013 c) + (x \u2013 c)(x \u2013 a) = (x \u2013 a)\u00b2 + 2(x \u2013 a)(x \u2013 c) = (x \u2013 a)(x \u2013 a + 2(x \u2013 c)), sacando factor com\u00fan, es decir que p(x) = (x \u2013 a)(3x \u2013 a \u2013 2c). Este polinomio, de segundo grado, tiene dos ra\u00edces, a y (a + 2c)\/3. Evidentemente, son n\u00fameros diferentes. Si tomamos cualquier valor t entre ambos (por ejemplo, el valor medio, t = (4a + 2c)\/6 = (2a + c)\/3), al evaluar p(t) = (t \u2013 a)(3t \u2013 a \u2013 2c) obtendr\u00edamos un n\u00famero negativo, ya que uno de los dos factores ser\u00eda positivo y el otro negativo (en el ejemplo, ((c \u2013 a)\/3)(a \u2013 c) = (c \u2013 a)(a \u2013 c)\/3 = -(a \u2013 c)\u00b2\/3, que es negativo, ya que por ser a y c n\u00fameros diferentes, el cuadrado dividido por 3 es positivo, luego el signo lo vuelve negativo). <\/p>\n
Alejandro Miralles nos propone otra idea muy interesante. Si llamamos q(x) = (x – a)(x – b)(x – c), es claro que p(x), como funci\u00f3n, es la derivada de q(x). En ese caso, equivale decir que p(x) es no negativo a que q es no decreciente. Est\u00e1 claro que si a = b = c, q no es decreciente, y sin embargo, si hay dos que no son iguales, existen valores entre ambos en los que q es diferente de cero, por lo que en el intervalo entre ese valor y alguna de las ra\u00edces a, b o c, la funci\u00f3n debe ser decreciente y por tanto p(x) debe ser negativo en ese intervalo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 4 de la Fase Local de la LVI OME 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Consideramos el siguiente polinomio para los valores reales a, b y c: p(x) = (x \u2013 a)(x \u2013 b) + (x \u2013 b)(x \u2013 c) + (x \u2013 c)(x \u2013 a). Demuestra que p(x) >= 0 […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1554","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1554","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1554"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1554\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1555,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1554\/revisions\/1555"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1554"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1554"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1554"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}