{"id":1564,"date":"2020-03-14T18:54:46","date_gmt":"2020-03-14T18:54:46","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1564"},"modified":"2020-03-14T18:54:46","modified_gmt":"2020-03-14T18:54:46","slug":"solucion-a-perpendiculares","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/03\/14\/solucion-a-perpendiculares\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a perpendiculares"},"content":{"rendered":"
Problema 5 de la Fase Local de la LVI OME 2020\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea ABC un tri\u00e1ngulo con AB < AC y sea I su incentro. El inc\u00edrculo es tangente al lado BC en el punto D.<\/p>\n
Sea E el \u00fanico punto que satisface que D es el punto medio del segmento BE.<\/p>\n
La l\u00ednea perpendicular a BC que pasa por E corta a CI en el punto P.<\/p>\n
Demostrar que BP es perpendicular a AD.
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\nSoluci\u00f3n:
\n
\nUno de los problemas m\u00e1s dif\u00edciles de los que nos podemos encontrar en la fase local. Muy poca gente creo que habr\u00e1 dado con una clave que le permita probarlo, aunque hay un par de aproximaciones que funcionan.<\/p>\n
Voy a contar dos muy diferentes. Una necesita conocer un truco algo especial, otra manejar bien ecuaciones de rectas.<\/p>\n
La forma m\u00e1s sencilla de probar que dos segmentos que se cortan son perpendiculares es, curiosamente, unir sus extremos y medir los lados. Si la suma de los cuadrados de los lados contrarios da lo mismo, entonces los dos segmentos son perpendiculares.<\/p>\n
En realidad, es una consecuencia del Teorema de Pit\u00e1goras. Si un tri\u00e1ngulo es rect\u00e1ngulo, los dos lados que forman ese \u00e1ngulo recto (los catetos), al cuadrado, suman lo mismo que el lado opuesto al \u00e1ngulo al cuadrado.<\/p>\n
Sin embargo, si el \u00e1ngulo es agudo, los dos lados que forman ese \u00e1ngulo, al cuadrado, suman m\u00e1s que el lado contrario al \u00e1ngulo al cuadrado, mientras que si el \u00e1ngulo es obtuso, sucede al contrario.
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\nSi ahora visualizamos los cuatro trozos en los que dividimos el par de segmentos, evidentemente, forman cuatro tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos si se cortan perpendicularmente, y por tanto si forman un \u00e1ngulo recto es evidente que sucede esa condici\u00f3n, pero si no forman un \u00e1ngulo recto, los dos lados del cuadril\u00e1tero que est\u00e1n en los \u00e1ngulos agudos suman menos que los cuadrados, mientras que los otros dos suman m\u00e1s (ambos son mayores), por lo que es imposible que sean iguales.
\n\"\"
\nEn nuestro dibujo, podemos tratar de comparar ambas sumas, y debido a las similitudes, podemos comparar la suma de los cuadrados.<\/p>\n
Entonces, tenemos el cuadril\u00e1tero ABDP. Tratamos de comprobar que DP\u00b2 + AB\u00b2 es igual que AP\u00b2 + DB\u00b2.<\/p>\n
Puesto que CI es la bisectriz del \u00e1ngulo ACB, existe un punto sim\u00e9trico respecto a CI de E, que podemos llamar, por ejemplo, F, y el segmento FP mide lo mismo que EP, y es perpendicular a AC como EP es perpendicular a CB.<\/p>\n
Tenemos tambi\u00e9n que situar los puntos de tangencia a los otros dos lados de la circunferencia, pongamos M en AB y N en AC. Se observa que, debido a la simetr\u00eda, CN mide lo mismo que CD, y AM que AN, y BM que BD.
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\nAhora, el segmento AP es la hipotenusa del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo AFP, por lo que AP\u00b2 = FP\u00b2 + AF\u00b2, y de la misma forma, el segmento DP est\u00e1 en una posici\u00f3n similar, por lo que DP\u00b2 = EP\u00b2 + ED\u00b2.<\/p>\n
Adem\u00e1s, se tiene que el segmento ED = BD = BM = FN. Puesto que AN = AM, entonces AF = AN + FN = BM + AM = AB.
\n por tanto DP\u00b2 + AB\u00b2 = DP\u00b2 + AF\u00b2 =  EP\u00b2 + ED\u00b2 + AF\u00b2 =  FP\u00b2 + ED\u00b2 + AF\u00b2 = FP\u00b2 + BD\u00b2 + AF\u00b2 = BD\u00b2 + AP\u00b2, que es exactamente lo que se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n
Vamos con la otra soluci\u00f3n.<\/p>\n
He encontrado una soluci\u00f3n usando coordenadas para ubicar las coordenadas de los cuatro extremos de los dos segmentos, y mediante el producto escalar, ver que efectivamente son perpendiculares, pero las expresiones que he logrado son muy complicadas y es f\u00e1cil cometer errores, de forma que no me parece muy conveniente. Sin embargo, la incluyo a continuaci\u00f3n.<\/p>\n
Cuando en pretendemos construir un tri\u00e1ngulo en el que aparece el incentro, muchas veces resulta m\u00e1s sencillo empezar la construcci\u00f3n a partir de los puntos de tangencia y el radio de la circunferencia inscrita, para que las expresiones salgan algo m\u00e1s manejables. Empezar la construcci\u00f3n desde las coordenadas de los puntos puede ser bastante m\u00e1s dif\u00edcil, o bien hay que conocer todas las relaciones entre las posiciones de unos y otros puntos.
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\nVoy a situar el lado CB sobre el eje X, y poner el origen (0,0) en C (se puede hacer de cualquier otra forma y la complejidad es similar). Una forma de emplear el tiempo para asegurarse de que no te equivocas es construir al mismo tiempo una situaci\u00f3n con valores concretos y comprobar que te da lo mismo con la expresi\u00f3n algebraica.<\/p>\n
El primer par\u00e1metro que usar\u00e9 ser\u00e1 la distancia desde C al punto de tangencia (D), al que llamar\u00e9 a, por ejemplo. As\u00ed, el punto D ser\u00e1 (a, 0).<\/p>\n
En esa recta, el siguiente punto es B, y le voy a poner (a + b, 0). El par\u00e1metro b representa la distancia del punto de tangencia a B, y seg\u00fan las condiciones del problema, debe ser menor que a.<\/p>\n
El \u00faltimo par\u00e1metro que necesitamos es el radio de la circunferencia inscrita, y le voy a llamar r. As\u00ed, las coordenadas del incentro, I, ser\u00e1n (a, r).<\/p>\n
La ecuaci\u00f3n de la recta que une C con I, CI, ser\u00e1 rx \u2013 ay = 0.<\/p>\n
Para encontrar el punto de tangencia de la recta CA, que es sim\u00e9trico respecto la recta CI respecto a D, levantamos una perpendicular a CI por D, ax + ry = a\u00b2.<\/p>\n
Hay que encontrar el punto de corte de las \u00faltimas dos rectas,  rx \u2013 ay = 0 y ax + ry = a\u00b2, por ejemplo, mediante la resoluci\u00f3n de un sistema, x = a\u00b3\/(a\u00b2 + r\u00b2), y = ra\u00b2\/(a\u00b2 + r\u00b2).<\/p>\n
Calculamos ahora el vector que va desde D a este \u00faltimo punto, (-ar\u00b2\/(a\u00b2 + r\u00b2), ra\u00b2\/(a\u00b2 + r\u00b2)) y se lo volvemos a sumar para hallar el sim\u00e9trico, ((a\u00b3 – ar\u00b2)\/(a\u00b2 + r\u00b2), 2ra\u00b2\/(a\u00b2 + r\u00b2)). En nuestro dibujo anterior este punto es N.<\/p>\n
La recta CN es la misma que CA, y tendr\u00e1 de ecuaci\u00f3n, una vez que quitemos denominadores y el factor com\u00fan a, 2rax + (r\u00b2 – a\u00b2)y = 0.<\/p>\n
Por el otro lado tenemos que hacer lo mismo para encontrar M y la recta BA, de donde sacaremos A.<\/p>\n
La ecuaci\u00f3n de la recta que une B con I, BI, ser\u00e1 rx + by = ra + rb.<\/p>\n
Para encontrar el punto de tangencia de la recta BA, que es sim\u00e9trico respecto la recta BI respecto a D, levantamos una perpendicular a BI por D, bx \u2013 ry = ba.<\/p>\n
Hay que encontrar el punto de corte de las \u00faltimas dos rectas,  bx \u2013 ry = ba y rx + by = ra + rb, por ejemplo, mediante la resoluci\u00f3n de un sistema, x = (b\u00b2a + r\u00b2a + r\u00b2b)\/(b\u00b2 + r\u00b2), y = rb\u00b2\/(b\u00b2 + r\u00b2).<\/p>\n
Calculamos ahora el vector que va desde D a este \u00faltimo punto, ( r\u00b2b\/(b\u00b2 + r\u00b2), rb\u00b2\/(b\u00b2 + r\u00b2)) y se lo volvemos a sumar para hallar el sim\u00e9trico, ((b\u00b2a + r\u00b2a + 2r\u00b2b)\/(b\u00b2 + r\u00b2), 2rb\u00b2\/(b\u00b2 + r\u00b2)). En nuestro dibujo anterior este punto es M.<\/p>\n
La recta BM es la misma que BA, y tendr\u00e1 de ecuaci\u00f3n, una vez que quitemos denominadores y el factor com\u00fan b, 2rbx + (b\u00b2 – r\u00b2)y = 2rba + 2rb\u00b2.<\/p>\n
Ya estamos listos para encontrar las coordenadas del punto A, cortando las dos rectas, x = b(a\u00b2 \u2013 r\u00b2)\/(ab \u2013 r\u00b2), y = 2rab\/(ab \u2013 r\u00b2). Encontrar este punto exige varias simplificaciones, ya que desaparecen algunos factores en la fracci\u00f3n, como 2r y (a + b).<\/p>\n
El caso es que ya estamos listos para encontrar el primer vector de los dos que necesitamos, el vector DA, que ser\u00e1 (b(a\u00b2 \u2013 r\u00b2)\/(ab \u2013 r\u00b2) \u2013 a, 2rab\/(ab \u2013 r\u00b2)) = (r\u00b2(a \u2013 b)\/(ab \u2013 r\u00b2), 2rab\/(ab \u2013 r\u00b2)). Este vector tiene la misma direcci\u00f3n que (r(a \u2013 b), 2ab).<\/p>\n
El punto P, sin embargo, es mucho m\u00e1s sencillo de encontrar. De la construcci\u00f3n del problema se tiene que E es (a \u2013 b, 0) y P es un punto de la recta CI, rx \u2013 ay = 0 que tiene la misma x, es decir que r(a \u2013 b) \u2013 ay = 0, por lo que y = r(a \u2013 b)\/a, y sus corrdenadas son (a \u2013 b,  r(a \u2013 b)\/a).<\/p>\n
Luego el vector BP ser\u00e1 (a \u2013 b \u2013 (a + b),  r(a \u2013 b)\/a) = (\u20132b,  r(a \u2013 b)\/a), que es claramente paralelo a (\u20132ab,  r(a \u2013 b)).<\/p>\n
Es evidente que las dos direcciones que hemos encontrado,(r(a \u2013 b), 2ab) y (\u20132ab,  r(a \u2013 b)) son perpendiculares, como se puede comprobar por ejemplo realizando el producto escalar (o levantando un vector perpendicular a uno de ellos, y viendo que tiene la misma pendiente que el otro).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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