{"id":157,"date":"2017-09-15T20:44:18","date_gmt":"2017-09-15T20:44:18","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=157"},"modified":"2017-10-07T07:16:54","modified_gmt":"2017-10-07T07:16:54","slug":"numeros-primos-en-una-ecuacion-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/09\/15\/numeros-primos-en-una-ecuacion-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros primos en una ecuaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"
Olimpiada Iberoamericana de Matem\u00e1ticas 2016, problema 1.\r\nSe dirige a una edad de: 16\/17<\/pre>\n
Encuentra todos los n\u00fameros primos p, q, r, y k tales que pq + qr + rp = 12k + 1.<\/p>\n
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La distribuci\u00f3n de los n\u00fameros primos entre los n\u00fameros naturales es muy extra\u00f1a, sigue resistiendo los avances de los expertos en algunos detalles. Sin embargo, hay patrones que cualquiera puede encontrar de forma sencilla.<\/p>\n
En nuestro caso, los n\u00fameros que nos interesan son los productos de dos primos, que, por supuesto, tambi\u00e9n tienen una extra\u00f1a distribuci\u00f3n dentro del conjunto.<\/p>\n
Para empezar, observa que el papel de p, q y r juegan papeles intercambiables, es decir, que en cualquier soluci\u00f3n se puede cambiar uno por otro y sigue siendo una soluci\u00f3n.<\/p>\n
Si suponemos que los tres son impares (y el \u00fanico primo par es 2), resulta que los tres productos tambi\u00e9n ser\u00e1n impares, existir\u00e1n valores n, m, y s de forma que p = 2n + 1, q = 2m + 1 y r = 2s + 1, y la expresi\u00f3n que buscamos ser\u00e1 (2n + 1)(2m + 1) + (2m + 1)(2s + 1) + (2s + 1)(2n + 1) = 4nm + 4ms + 4ns + 4n + 4m + 4s + 3 = 4(nm + ms + ns + n + m + s) + 3, mientras que al otro lado de la igualdad ser\u00e1 4(3k) + 1, lo cual es imposible, ya que por uno de los n\u00fameros, al restarle uno, es m\u00faltiplo de 4, y el otro no.<\/p>\n
Por lo tanto, uno de los tres primos es 2. Supongamos que es r (recordemos que luego podemos intercambiarlos). La expresi\u00f3n queda pq + 2p + 2q = 12k + 1.<\/p>\n
De manera similar, tratemos de ver si es 3 uno de los dos. Lo que pasa es que ahora es m\u00e1s complicado, porque hay dos posibles restos al dividir por 3, si no da exacto (1 o 2). Para resumir las expresiones, s\u00f3lo vamos a fijarnos en los restos. Observa que omitimos toda referencia a la parte que es m\u00faltiplo de 3.<\/p>\n
Suponiendo que p y q tienen ambos resto 1, pq + 2p + 2q = 1 + 2 + 2 = 5 = 2, mientras que 12k + 1 = 1, por lo que no es posible.<\/p>\n
La versi\u00f3n larga ser\u00eda que p = 3m + 1, q = 3n + 1, y por tanto desarrollar\u00edamos la expresi\u00f3n y todo saldr\u00eda m\u00faltiplo de 3 excepto las operaciones que hemos indicado. Tambi\u00e9n hay que tener en cuenta que 5 = 3 + 2, de forma que es un m\u00faltiplo de 3 m\u00e1s un resto de 2 unidades.<\/p>\n
Supongamos que uno de ellos tiene resto 1 y el otro 2 (como son intercambiables, da lo mismo uno que otro). pq + 2p + 2q = 2 + 2 + 4 = 8 = 2, mientras que 12k + 1 = 1, de nuevo es imposible.<\/p>\n
Por \u00faltimo, si ambos tienen resto 2, tenemos que pq + 2p + 2q = 4 + 4 + 4 = 12 = 0, lo que quiere decir que en ese caso, la primera expresi\u00f3n ser\u00eda m\u00faltiplo de 3, mientras que 12k + 1 = 1, y de nuevo es imposible.<\/p>\n
Es decir, que o bien p o bien q debe ser 3, podemos suponer que q es 3 (recuerda que son intercambiables), y ya s\u00f3lo nos queda conocer p. Nuestra expresi\u00f3n inicial es ahora: 3p + 2p + 6 = 12k + 1, es decir, 5p + 6 = 12k + 1. Vamos a fijarnos en esta ocasi\u00f3n en los restos al dividir por 5. Vemos que en el primer lado de la igualdad es 5p + 5 + 1, por lo que el resto es 1. Pero, para que el otro lado, 12k + 1, tenga el mismo resto, 12k debe ser m\u00faltiplo de 5, y, puesto que 12 no es divisible entre 5, k debe serlo. Y como es primo, no queda m\u00e1s remedio que que sea 5.<\/p>\n
Lo que deja nuestra igualdad inicial en 5p + 6 = 61, de donde deducimos que p = 11.<\/p>\n
Es decir que, p, q y r deben ser 2, 3 y 11 en cualquier orden, mientras que k s\u00f3lo puede ser 5.<\/p>\n
O, de forma extendida, ser\u00edan 6 las soluciones para (p, q, r, k): (2, 3, 11, 5), (3, 2, 11, 5), (11, 3, 2, 5), (3, 11, 2, 5), (2, 11, 3, 5), (11, 2, 3, 5).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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