{"id":1579,"date":"2020-03-21T12:35:03","date_gmt":"2020-03-21T12:35:03","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1579"},"modified":"2020-03-21T12:35:03","modified_gmt":"2020-03-21T12:35:03","slug":"solucion-a-cuadricula-laser","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/03\/21\/solucion-a-cuadricula-laser\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a cuadr\u00edcula l\u00e1ser"},"content":{"rendered":"
Problema 6 de la Fase Local de la LVI OME 2020\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea n un entero positivo. En una cuadr\u00edcula de tama\u00f1o n \u00d7 n, algunas casillas tienen un espejo de doble cara a lo largo de una de sus diagonales.<\/p>\n
En el exterior de cada casilla de los lados izquierdo y derecho de la cuadr\u00edcula se encuentra un puntero l\u00e1ser, que apunta horizontalmente hacia la cuadr\u00edcula.<\/p>\n
Los l\u00e1seres se numeran de 1 a n en cada lado, en ambos casos de arriba hacia abajo.<\/p>\n
Un l\u00e1ser es rojo cuando sale de la cuadr\u00edcula por el borde superior y es verde si sale de la cuadr\u00edcula por el borde inferior.<\/p>\n
Si cada l\u00e1ser sale o bien por el borde inferior o por el superior, demostrar que la suma de los n\u00fameros con los que se numera a los l\u00e1seres rojos es menor o igual que la suma de los n\u00fameros con los que se numera a los l\u00e1seres verdes.
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\nSoluci\u00f3n:
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\nEste problema s\u00ed que es complicado de verdad, pero pone de manifiesto una propiedad muy curiosa.<\/p>\n
Si tratamos de poner ejemplos, veremos que hay situaciones muy complejas (por ejemplo, la siguiente a estas l\u00edneas).<\/p>\n
En el ejemplo que viene en la cabecera, ambos l\u00e1seres suman lo mismo, 1 + 2 + 3 = 6. Sin embargo, en el siguiente, vemos que los rojos suman 1 + 2 + 2 = 5, mientras que los verdes suman 1 + 3 + 3 = 7.<\/p>\n
Es uno de los ejemplos m\u00e1s sencillos en la que la desigualdad es estricta. Se puede hacer uno 2×2 con la idea que viene al final del problema.<\/p>\n
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\nLo que s\u00ed est\u00e1 claro, es que la cantidad total de l\u00e1seres rojos y verdes sumada es 2n, y eso, unido al hecho de que no pueden salir por los lados horizontales, s\u00f3lo por los verticales, hace que haya una relaci\u00f3n uno a uno, es decir, que no se pueden mezclar o superponer los l\u00e1seres.<\/p>\n
Si no todos los l\u00e1seres saliesen por arriba o por abajo, podr\u00edan superponerse.<\/p>\n
No pueden salir dos por la misma casilla, ya que si hacemos el recorrido desde la salida hasta el inicio, s\u00f3lo puede salir de ah\u00ed un \u00fanico l\u00e1ser (no hay manera de separarlo en dos, de la misma forma que no hay manera de que se unan dos).<\/p>\n
Puesto que salen dentro de una casilla (podemos suponer que en el centro), si son rojos, recorren una serie de casillas hasta salida que, en vertical, equivaldr\u00e1 al menos al n\u00famero que le hemos asignado (menos media).<\/p>\n
As\u00ed, si un l\u00e1ser rojo sale en la casilla 2, deber\u00e1 recorrer verticalmente 1 casilla y media.<\/p>\n
Sin embargo, el verde, que debe salir por debajo, recorrer\u00e1 n menos el n\u00famero que se le ha asignado m\u00e1s media, es decir, que un l\u00e1ser verde que saliese de la casilla dos deber\u00eda recorrer verticalmente al menos 1 y media, pero si sale desde la una, verticalmente tiene que recorrer 2 y media.<\/p>\n
Puesto que no se superponen, el recorrido vertical debe ser en total menor que n\u00b2. Y eso tiene como consecuencia lo que buscamos, de una forma un tanto extra\u00f1a.<\/p>\n
Vamos a llamar a R a la suma de todos los n\u00fameros de los rojos. La suma de todos los recorridos de los l\u00e1seres rojos ser\u00e1 entonces, al menos, R \u2013 n\/2 (ya que a cada uno le quitamos 1\/2 y hay n).<\/p>\n
Vamos a llamar V a la suma de todos los n\u00fameros de los verdes. La suma de todos los recorridos de los l\u00e1seres verdes ser\u00e1 n\u00b2 \u2013 V + n\/2, ya que hay n y a cada uno lo restamos de n y le sumamos 1\/2.<\/p>\n
El que el recorrido vertical tenga que ser menor que n\u00b2 quiere decir que R \u2013 n\/2 + n\u00b2 \u2013 V + n\/2 <= n\u00b2, pero es sencillo ver que esa desigualdad se transforma en R \u2013 V + n\u00b2 <= n\u00b2, y que por tanto R debe ser menor que V necesariamente.<\/p>\n
De hecho, el menor ser\u00e1 estricto si alguno de los l\u00e1seres rojos rebota en alguna ocasi\u00f3n hacia abajo o uno verde hacia arriba, ya que el recorrido que hace alguno de ellos verticalmente ser\u00e1 mayor que el m\u00ednimo. Se puede comprobar en el siguiente dibujo m\u00e1s simple.<\/p>\n
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