{"id":164,"date":"2017-09-22T18:50:33","date_gmt":"2017-09-22T18:50:33","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=164"},"modified":"2017-10-07T07:16:29","modified_gmt":"2017-10-07T07:16:29","slug":"ecuaciones-con-y-sin-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/09\/22\/ecuaciones-con-y-sin-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaciones con y sin"},"content":{"rendered":"
Torneo de las ciudades, 2016 (Primavera, nivel A junior)\r\nSe dirige a una edad de: 12\/15<\/pre>\n
a) \u00bfExisten enteros a y b de forma que la ecuaci\u00f3n x2<\/sup> + ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuaci\u00f3n [x2<\/sup>] + ax + b = 0 s\u00ed que tiene al menos una soluci\u00f3n real?<\/p>\n
b) \u00bfExisten enteros a y b de forma que la ecuaci\u00f3n x2<\/sup> + 2ax + b = 0 no tiene soluciones reales y la ecuaci\u00f3n [x2<\/sup>] + 2ax + b = 0 s\u00ed que tiene al menos una soluci\u00f3n real?<\/p>\n
(La funci\u00f3n [k] denota la parte entera de k, es decir, el entero m\u00e1s grande que est\u00e1 por debajo de k.)\"\"<\/p>\n

\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
Para resolver bien este problema, conviene saber resolver con soltura las ecuaciones de segundo grado, y conocer la f\u00f3rmula de las soluciones, en especial aplicadas a las expresiones del problema.<\/p>\n
Tambi\u00e9n conviene saber que la forma de representar las f\u00f3rmulas de segundo grado es una par\u00e1bola, cuyo punto m\u00e1s bajo (o m\u00e1s alto, en otros casos) es el v\u00e9rtice, que se calcula dividiendo el opuesto del coeficiente de la x entre el doble del coeficiente de la x2<\/sup>.<\/p>\n
Apartado a<\/p>\n
Para que una ecuaci\u00f3n de segundo grado no tenga soluci\u00f3n, debe suceder que la expresi\u00f3n a2<\/sup> \u2013 4b sea negativa, porque en este caso ser\u00eda lo que aparecer\u00eda dentro de la ra\u00edz con la que calculamos la soluci\u00f3n, y eso significa que no habr\u00eda ning\u00fan n\u00famero real que lo cumpliese.<\/p>\n
En ese caso, 4b ser\u00eda mayor que a2<\/sup>. Pero, al tomar parte entera, es como quitar un valor decimal a x2<\/sup>, de forma que es como si tomamos un valor de b algo menor, y para ese valor, puede que a2<\/sup> sea algo mayor que 4b. Al mismo tiempo, x2<\/sup> debe ser un n\u00famero decimal con una parte decimal algo grande, para que podamos quitar una cantidad relativamente grande a b.<\/p>\n
Podemos ajustar la ecuaci\u00f3n a varios valores, de forma que b sea mayor que un cuarto de a2<\/sup>, pero al quitarle un poco ya no. Por ejemplo, si a = 3 y b =3 , est\u00e1 claro que a2<\/sup> \u2013 4b = -3, negativo, pero si a b le quitamos un n\u00famero algo mayor de 3\/4 = 0.75, tendr\u00edamos posibilidades de tener ra\u00edces. En este caso, casualmente, el valor x = -4\/3 es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n, ya que [x\u00b2] + ax + b = [16\/9] + 3*(-4\/3) + 3 = 1 + -4 + 3 = 0. Encontrar este tipo de valores puede requerir probar varias posibilidades, pero hay muchos disponibles. Observa que la parte decimal de x2<\/sup> en ese caso es 7\/9, aproximadamente 0.778, algo mayor que 0,75.<\/p>\n
Lo que parece claro es que para que a2<\/sup> y 4b est\u00e9n lo m\u00e1s cerca posible, a debe ser impar, como veremos, con los pares no funciona (apartado b).<\/p>\n
Pero algunos valores no dan resultado. Por ejemplo, si a = 1, entonces b = 1 (lo m\u00e1s cerca posible de la cuarta parte de a\u00b2), pero en ese caso, el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola (el punto m\u00e1s bajo) est\u00e1 en x = -1\/2, es decir, que x2<\/sup> = 1\/4, y su parte entera es cero. Si buscamos soluciones, entonces 0 + x + 1 debe ser cero, y en ese caso, x = -1 y la ecuaci\u00f3n no funciona.<\/p>\n
Usemos otro valor, si a = 5, entonces b = 7, y el v\u00e9rtice est\u00e1 en x = -5\/2, y eso significa que la parte entera de x2<\/sup> es 6, tanto en el v\u00e9rtice como cerca de \u00e9l. Por tanto, la ecuaci\u00f3n cerca del v\u00e9rtice ser\u00e1 6 + 5x + 7 = 0, por lo que x = -13\/5 es una soluci\u00f3n. En efecto, para ese valor podemos comprobar que la ecuaci\u00f3n da cero. Es decir, que otra soluci\u00f3n ser\u00eda que a = 5, b = 7 y x = -13\/5.<\/p>\n
Si queremos que la x sea positiva, debemos usar valores negativos de a, ya que es imposible que sea cero ninguna de las igualdades si todos los n\u00fameros implicados son positivos.<\/p>\n
Otra posibilidad es dibujar la gr\u00e1fica de la par\u00e1bola, de forma que el v\u00e9rtice est\u00e9 cerca de la x (el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola x2<\/sup> + 3x + 3 est\u00e1 en el punto ( – 1.5, 0,75)) y trabajar s\u00f3lo con la parte N + ax + b en los intervalos adecuados (procurando que estemos cerca del v\u00e9rtice, y N es la parte entera de la x del v\u00e9rtice al cuadrado).<\/p>\n
Apartado b<\/p>\n
En este apartado, la respuesta es que no, aunque sea muy similar al anterior. Ahora el coeficiente de la x debe ser par y eso lo cambia todo, ya que ahora la expresi\u00f3n que debe ser negativa es (2a)2<\/sup> \u2013 4b = 4a2<\/sup> \u2013 4b, es decir, que b debe ser mayor que a2<\/sup>, y como es un n\u00famero entero, resulta que debe ser como m\u00ednimo una unidad mayor, por lo que aunque le quitemos un n\u00famero decimal, que siempre es menor que uno, no llegar\u00e1 a ser menor.<\/p>\n
Otra forma de razonarlo es que, puesto que b > a2<\/sup>, b es mayor o igual que a2<\/sup> + 1, y por tanto, [x2<\/sup>] + 2ax + b es mayor que x2<\/sup> + 2ax + b \u2013 1, que es mayor o igual que x2<\/sup> + 2ax + a2<\/sup> + 1 \u2013 1 = (x + a)2<\/sup> (observa que la expresi\u00f3n es exactamente igual que el cuadrado de la suma), que sabemos que siempre es mayor o igual que cero, por lo que [x2<\/sup>] + 2ax + b es mayor que cero para todo valor de x.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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