{"id":1658,"date":"2020-05-30T18:19:12","date_gmt":"2020-05-30T18:19:12","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1658"},"modified":"2020-05-30T18:19:12","modified_gmt":"2020-05-30T18:19:12","slug":"solucion-a-dos-ortoedros-unidos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/05\/30\/solucion-a-dos-ortoedros-unidos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a dos ortoedros unidos"},"content":{"rendered":"
Problema 7 del concurso marat\u00f3 de problemes 2020\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Un ortoedro es un poliedro con seis caras rectangulares perpendiculares cada una de ellas a sus vecinas.<\/p>\n
Supongamos que tenemos dos octoedros que tienen la particularidad de que pueden unirse por una de sus caras para formar un ortoedro mayor.<\/p>\n
Demuestra que, si la superficie total del ortoedro mayor es exactamente 3\/4 de la suma de las superficies de los dos originales, entonces las dimensiones del ortoedro mayor x, y, z cumplen la relaci\u00f3n 1\/x + 1\/y = 2\/z.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\nPara poder simular el proceso, empec\u00e9 a probar valores enteros que cumplieran la ecuaci\u00f3n. Tras alguna prueba en la que daban decimales (tambi\u00e9n valen, pero es m\u00e1s pesado hacer los c\u00e1lculos), encontr\u00e9 que si pones z =12, por ejemplo, 2\/z = 1\/6, de forma que puedes situar, por ejemplo, y = 18, y, restando, sale que x = 9. En efecto, 1\/9 + 1\/18 = 2\/12. Parece que no, pero hay bastantes n\u00fameros enteros con los que jugar.<\/p>\n
Probando con esta figura en concreto, me di cuenta de que bastaba en cortarla en dos por el lado de 12, es decir, dos ortoedros, por ejemplo, de 9, 18, 5 y 9, 18, 7. Peg\u00e1ndolos por la cara de 9×18 tenemos el efecto deseado.<\/p>\n
Si te fijas, para calcular el \u00e1rea hay que multiplicar todas las longitudes por todas, y cada pareja sumarla dos veces. Pero como el lado que mide z es suma de los otros dos, cuando calculemos el \u00e1rea del grande muchas partes se podr\u00e1n sumar.<\/p>\n
Veamos c\u00f3mo funciona con letras.<\/p>\n
Tenemos dos ortoedros. Las dimensiones de uno son x, y, a. Las de otro, x, y, b. Ambos se pegan por una cara de dimensi\u00f3n x, y, formando un ortoedro de dimensiones x, y, z. Luego a + b = z.<\/p>\n
El \u00e1rea del primero ser\u00e1 2xy + 2xa + 2ya y la del segundo 2xy + 2xb + 2yb. En total, las \u00e1reas de ambos ser\u00e1n 4xy + 2xa + 2xb + 2ya + 2yb, sacando factor com\u00fan 4xy + 2xz + 2yz (recuerda que a + b = z).<\/p>\n
Por otro lado, resulta que el \u00e1rea del ortoedro grande ser\u00e1 2xy + 2xz + 2yz. La diferencia ser\u00e1, por tanto 2xy.<\/p>\n
Hay gente muy lista que se habr\u00e1 dado cuenta antes: cuando pegas dos poliedros, el \u00e1rea es la suma de las \u00e1reas, menos la que pierdes cuando “tapas” las dos caras de uni\u00f3n, pero mucha gente es m\u00e1s lenta y necesita ejemplos.<\/p>\n
Lo que dice el problema es que 2xy =  (4xy + 2xz + 2yz)\/4 (es decir, que en el proceso de pegado se pierde 1\/4 del \u00e1rea, por eso despu\u00e9s de unirlo el \u00e1rea total es 3\/4 de la original).<\/p>\n
Quitando denominadores, queda que 8xy = 4xy + 2xz + 2yz, es decir, que 4xy = 2xz + 2yz. Puesto que todo es par, podemos dividir por 2, y tenemos que 2xy = xz + yz.<\/p>\n
Y la expresi\u00f3n original, si quitamos denominadores, da lo mismo, ya que  1\/x + 1\/y = 2\/z es equivalente a xy\/xyz + xz\/xyz = 2xy\/xyz. Con lo que queda demostrado.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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