{"id":1664,"date":"2020-06-13T05:16:20","date_gmt":"2020-06-13T05:16:20","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1664"},"modified":"2020-06-13T05:16:20","modified_gmt":"2020-06-13T05:16:20","slug":"solucion-a-escalera-de-cuadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/06\/13\/solucion-a-escalera-de-cuadrados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a escalera de cuadrados"},"content":{"rendered":"
Problema 8 del concurso marat\u00f3 de problemes 2020\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
En la siguiente figura se aprecia una estructura de aspecto triangular hecha con cuadrados iguales, todos de lado 1 cm.<\/p>\n
En la fila superior hay 1 cuadrado.<\/p>\n
Bajo esa fila hay otra con dos cuadrados.<\/p>\n
La tercera fila empezando desde arriba tiene tres cuadrados.<\/p>\n
Y as\u00ed sucesivamente, hasta la fila n, en la que hay n cuadrados.<\/p>\n
La imagen corresponde a un n = 4.<\/p>\n
Cada cuadrado recae sobre dos de los cuadrados de la fila previa, no necesariamente centrado, pero sin dejar huecos con los cuadrados vecinos.<\/p>\n
Hay una l\u00ednea negra dibujada que marca el pol\u00edgono que rodea a todos estos cuadrados.<\/p>\n
Indicamos con S la superficie de este pol\u00edgono en cm\u00b2 para un n determinado, y P al per\u00edmetro en cm del mismo pol\u00edgono.<\/p>\n
Se puede escribir S en funci\u00f3n de P como un polinomio d segundo grado, independientemente del n. Esta relaci\u00f3n se da para cualquier valor de n.<\/p>\n
Encuentra los valores a, b, c que cumplen S = aP\u00b2 + bP + c.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nCada tri\u00e1ngulo es una suma de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica, ya que cada fila tiene una m\u00e1s que la de arriba.<\/p>\n
Como cada cuadrito tiene \u00e1rea 1, S = (1 + n)\u00b7n\/2, para un n\u00famero n de filas.<\/p>\n
Es decir, que S = n\/2 + n\u00b2\/2.<\/p>\n
Lo m\u00e1s dif\u00edcil de ver es que el per\u00edmetro es 4n.<\/p>\n
El lado de abajo claramente es n porque la \u00faltima fila tiene n cuadrados.<\/p>\n
El lado vertical de la derecha tiene n tramos de un cent\u00edmetro, con lo que tambi\u00e9n mide n. Y lo mismo el de la izquierda.<\/p>\n
Pero el horizontal superior tiene m\u00e1s tramos. El m\u00e1s de arriba tiene 1 cm, el siguiente nivel hay dos tramos que en total miden 1 cm, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n
Si sumamos la parte superior de los n pisos, podemos ver f\u00e1cilmente que mide tambi\u00e9n n cm.<\/p>\n
Es decir, que P mide 4n, es decir, que n = P\/4.<\/p>\n
Como hay que sustituir en la f\u00f3rmula, tenemos que S = P\/8 + P\u00b2\/32 (observa que n\u00b2 = P\u00b2\/16).<\/p>\n
Por lo tanto S = (1\/32)P\u00b2 + (1\/8)P + 0.<\/p>\n
Por tanto lo que pide el problema es a = 1\/32, b = 1\/8, c =0.<\/p>\n
Otra forma de solucionarlo es por una especie de “tanteo”.<\/p>\n
Si probamos varios tri\u00e1ngulos tenemos, por ejemplo, para la de 2 pisos, S = 3, P = 8.<\/p>\n
Para la de 3 pisos, S = 6, P = 12.<\/p>\n
Y para la de 4 pisos, S = 10, P = 16.<\/p>\n
Entonces, poniendo todo junto, sabemos que 3 = 64a + 8b + c, 6 = 144a + 12 b + c y que 10 = 256a + 16b + c.<\/p>\n
Cambiando los signos a la primera y restamos a las otras 2 para quedarnos sin c, tendr\u00edamos que:
\n3 = 80a + 4b
\n7 = 192a + 8b<\/p>\n
Y, multiplicando la primera por -2 y sumando, tendr\u00edamos que 1 = 32a, con lo que claramente a = 1\/32, b = 1\/8 y c = 0.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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