{"id":1677,"date":"2020-06-28T06:35:28","date_gmt":"2020-06-28T06:35:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1677"},"modified":"2020-06-28T06:35:28","modified_gmt":"2020-06-28T06:35:28","slug":"solucion-a-el-viaje","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/06\/28\/solucion-a-el-viaje\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a el viaje"},"content":{"rendered":"
Problema 9 del concurso marat\u00f3 de problemes 2020\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Un centro escolar organiz\u00f3 un viaje en autob\u00fas que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del n\u00famero de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el n\u00famero de personas que se apunten.<\/p>\n
Se inscribieron m\u00e1s de veinte y, cuando calcularon el coste individual que supondr\u00eda, el resultado fue una cantidad entera de euros.<\/p>\n
Cuando anunciaron el coste, cuatro de los que se hab\u00edan apuntado se borraron. Volvieron a calcular el coste individual, que curiosamente fue otra vez un n\u00famero entero de euros, y se comenz\u00f3 a recaudar el dinero. Todo fue bien hasta llegar a los dos \u00faltimos, que dijeron que no podr\u00edan ir a la excursi\u00f3n.<\/p>\n
El d\u00eda del viaje se volvi\u00f3 a calcular el coste del viaje por participante, que volvi\u00f3 a ser un n\u00famero entero, y se tuvieron que recoger 3\u20ac m\u00e1s a cada uno de los alumnos que finalmente fueron y que hab\u00edan pagado ya la parte que les correspond\u00eda anteriormente.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1nto ha costado finalmente el viaje a cada participante?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nPuesto que inicialmente se inscribieron m\u00e1s de 20, y se borraron sucesivamente cuatro y dos personas, finalmente fueron m\u00e1s de 14 personas.<\/p>\n
Supondremos entonces que el n\u00famero de los que fueron debi\u00f3 ser x + 14, y que el coste final debi\u00f3 ser (por persona) una cantidad y de euros, entera. El n\u00famero entero x debe ser mayor que 0.<\/p>\n
Puesto que en \u00faltimo lugar se borraron 2 personas, y eso supuso un aumento en el precio de 3 \u20ac, tenemos que hay una relaci\u00f3n del tipo (x + 14)y = (x + 16)(y \u2013 3), que desarrollando hace que tengamos una expresi\u00f3n xy + 14y = xy +16y \u2013 3x \u2013 48, lo que supone que 48 = 2y \u2013 3x.<\/p>\n
Por lo tanto, y = 24 + 3x\/2.<\/p>\n
Por otra parte, anteriormente, hab\u00eda 4 personas m\u00e1s apuntadas, y el coste individual tambi\u00e9n era un n\u00famero entero, as\u00ed que sabemos que (x + 14)y es divisible por x + 20, pero (x + 14)y = (x + 14)(3x\/2 + 24) = 3x\u00b2\/2 + 45x + 336 y al dividirlo por x + 20 (como polinomio) debe dar un resto de 36 y un cociente de 3x\/2 + 15, por lo que, o bien 36 debe ser divisible por el n\u00famero x + 20 (recuerda que x es positivo), o bien x es impar, y en ese caso, 36 no ser\u00eda divisible, pero 72 s\u00ed (as\u00ed arreglar\u00edamos el decimal sobrante). Sin embargo, esta \u00faltima situaci\u00f3n es imposible.<\/p>\n
Todo esto nos lleva a que x + 20 debe ser exactamente 36, ya que es el \u00fanico entero mayor que 21 que divide a 36, ya que valores de x impares no cumplen la condici\u00f3n requerida con los decimales, por lo que x = 16. Y, claro, y = 48\u20ac.<\/p>\n
Fueron finalmente 30 personas, que pagaron 48\u20ac cada una de ellas. El coste de la excursi\u00f3n por tanto fue de 2130\u20ac. Cuando hab\u00eda 32 personas, sal\u00edan a 45\u20ac por persona, y cuando (inicialmente) hab\u00eda 36 personas apuntadas, el coste era de 40\u20ac.<\/p>\n
Me ha parecido interesante este problema, ya que es muy \u00fatil para manejar relaciones relativamente complicadas entre variables, y al final utiliza operaciones polin\u00f3micas no demasiado complicadas.<\/p>\n
Tambi\u00e9n podemos partir desde una cantidad x que sea el n\u00famero de personas participantes inicial en la excursi\u00f3n, teniendo en cuenta m\u00e1s tarde que es mayor que 20. Si esta relaci\u00f3n queda fuera, ser\u00eda v\u00e1lida cualquier cantidad que divida a 36 y mantenga positivo el n\u00famero de viajeros en todo momento.<\/p>\n
Si no tenemos en cuenta la restricci\u00f3n de ser m\u00e1s de 20, tambi\u00e9n ser\u00edan v\u00e1lidas otras soluciones, como por ejemplo una excursi\u00f3n con un total de 12 pasajeros y un coste de 21\u20ac (252\u20ac en total), ya que este n\u00famero ser\u00eda divisible por 14 y  por 18.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 9 del concurso marat\u00f3 de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os Un centro escolar organiz\u00f3 un viaje en autob\u00fas que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del n\u00famero de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el n\u00famero de personas que se apunten. Se […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242026,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1677","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-marato-de-problemes","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1677","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1677"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1677\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1679,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1677\/revisions\/1679"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1677"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1677"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1677"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}