{"id":1686,"date":"2020-07-04T16:32:55","date_gmt":"2020-07-04T16:32:55","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1686"},"modified":"2020-07-05T15:54:36","modified_gmt":"2020-07-05T15:54:36","slug":"solucion-a-funcion-racional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/07\/04\/solucion-a-funcion-racional\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a funci\u00f3n racional"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Olimpiada Matem\u00e1tica Canadiense de 2008\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Encuentra todas las funciones f racionales de variable racional (es decir, del conjunto de los n\u00fameros racionales en s\u00ed mismo) que cumplen, para cualquier par de n\u00fameros racionales x e y, la relaci\u00f3n f(2f(x) + f(y)) = 2x + y.
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\nSoluci\u00f3n:
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\n\u00daltimamente estoy descubriendo muchos problemas interesantes gracias al canal de youtube de Michael Penn<\/a>, un profesor americano del Randolph College, de Lynchburg, Virginia. Si dominas el ingl\u00e9s, es una muy buena recomendaci\u00f3n.<\/p>\n
En este caso, se trata de un problema bastante t\u00e9cnico, en el que se utilizan bastantes de las estrategias habituales a la hora de trabajar con ecuaciones funcionales.<\/p>\n
Para empezar, descubrimos algo interesante si tomamos x = y = 0, ya que f(2f(0) + f(0)) = 0, es decir f(3f(0)) = 0.<\/p>\n
Pero si ahora, tomamos x = y = 3f(0), entonces la afirmaci\u00f3n inicial nos dice que f(2f(3f(0))+f(3f(0)) = 2\u00b73f(0) + 3f(0), pero como sabemos la anterior igualdad, tenemos que f (2\u00b70 + 0) = 6f(0) + 3f(0), por lo que 0 = 8f(0), es decir, f(0) = 0.<\/p>\n
Al menos, tenemos ya un valor. Ahora, si tomamos cualquier valor para y, y el valor 0 para x, tenemos que la condici\u00f3n f(2\u00b70 + f(y)) = 2\u00b70 + y, por lo que f(f(y)) = y.<\/p>\n
Por lo tanto, f es su propia inversa (y por lo tanto, debe ser biyectiva, es decir, que cada n\u00famero tiene su imagen diferente, y cada n\u00famero es imagen de otro).<\/p>\n
Entre otras cosas, eso quiere decir que, puesto que f(2f(x) + f(y)) = 2x + y, aplicando f, tenemos que 2f(x) + f(y) = f(2x + y) , que pr\u00e1cticamente es como si fuese lineal.<\/p>\n
De hecho, la igualdad anterior, con y = 0, significa que 2f(x) = f(2x), por lo que si tomamos r\/2 = x, y cualquier valor para y, la igualdad f(r + y) = f(2x  + y) = 2f(x) + f(y) = f(2x) + f(y) = f(r) + f(y), de forma que s\u00ed es lineal.<\/p>\n
Veamos que en realidad f(x) = f(1)\u00b7x.<\/p>\n
Resulta que si tenemos un n\u00famero natural n es f\u00e1cil probarlo por inducci\u00f3n, ya que si es cierto para n \u2013 1, entonces f(n) = f (1 + n \u2013 1) = f(1) + f(1)(n \u2013 1) = f(1)n. Y, claro, f(1) = f(1)\u00b71.<\/p>\n
Y una fracci\u00f3n positiva 1\/q lo cumple tambi\u00e9n, ya que f(1) = f((1\/q)\u00b7q) = f(1\/q + 1\/q + … + 1\/q) = f(1\/q)  + f(1\/q) + … + f(1\/q) = q\u00b7f(1\/q), luego f(1\/q) = f(1)\u00b7(1\/q).<\/p>\n
Evidentemente, entonces, p\/q, positiva, tambi\u00e9n lo cumple, ya que f(p\/q) = f(1\/q + 1\/q + … + 1\/q) = f(1\/q) + f(1\/q) + … + f(1\/q) = p\u00b7f(1\/q) = f(1)\u00b7(p\/q).<\/p>\n
Ahora bien, si tenemos un n\u00famero racional negativo x, -x es positivo, y como ya hemos visto, f(-x) = f(1)\u00b7(-x), y adem\u00e1s f(x + (-x)) = f(0) = 0, por lo que f(x) + f(-x) = 0, y eso quiere decir que f(x) = f(1)\u00b7x.<\/p>\n
Ya casi acabamos, ya que, como sabemos que f(f(1)) = 1, tenemos que f(1)\u00b7f(1) = 1, y (f(1))\u00b2 = 1 s\u00f3lo puede ocurrir si f(1) = 1 o bien f(1) = -1.<\/p>\n
Es decir, que las \u00fanicas dos funciones que pueden cumplir la condici\u00f3n inicial ser\u00edan f(x) = x y la funci\u00f3n f(x) = -f(x), y debemos comprobar si las dos cumplen la condici\u00f3n o no.<\/p>\n
En efecto, en el primer caso, f(2f(x)+f(y)) = 2f(x) + f(y) = 2x + y. Y en el segundo caso,  f(2f(x)+f(y)) = -2f(x) – f(y) = 2x + y.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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