{"id":1701,"date":"2020-07-18T07:13:54","date_gmt":"2020-07-18T07:13:54","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1701"},"modified":"2020-07-18T07:13:54","modified_gmt":"2020-07-18T07:13:54","slug":"solucion-a-tres-numeros-relacionados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/07\/18\/solucion-a-tres-numeros-relacionados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a tres n\u00fameros relacionados"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 11 del concurso marat\u00f3 de problemes 2020\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Tenemos tres n\u00fameros relacionados, a, x e y, de forma que x = a + 1\/a, y tambi\u00e9n y = a\u00b3 + 1\/a\u00b3.<\/p>\n<p>\u00bfPuedes escribir una f\u00f3rmula que permita expresar y en funci\u00f3n de x?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1698\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/07\/152.Tresnumerosrelacionados.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/07\/152.Tresnumerosrelacionados.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/07\/152.Tresnumerosrelacionados-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEste problema tiene cierto truco.<\/p>\n<p>Resulta que si queremos calcular x\u00b2 en funci\u00f3n de a, tenemos que es x\u00b2 = (a + 1\/a)\u00b2 = a\u00b2 + 2\u00b7a\u00b71\/a + (1\/a)\u00b2 = a\u00b2 + 2 + 1\/a\u00b2.<\/p>\n<p>Y si queremos calcular x\u00b3, ser\u00e1 elevar al cubo la suma a + 1\/a, que (bien porque hayamos hecho la multiplicaci\u00f3n de (a + 1\/a)\u00b2 por a + 1\/a, bien porque apliquemos la f\u00f3rmula que permite elevar al cubo una suma) dar\u00e1 x\u00b3 = a\u00b3 + 3a\u00b2\u00b7(1\/a) + 3a\u00b7(1\/a)\u00b2 + (1\/a)\u00b3 = a\u00b3 + 3a + 3\/a + 1\/a\u00b3 = 3(a + 1\/a) + y = 3x + y.<\/p>\n<p>Por lo tanto, resulta que y = x\u00b3 \u2013 3x.<\/p>\n<p>Una manera directa, aunque mucho m\u00e1s larga de obtener lo mismo es despejar a en funci\u00f3n de x y sustituir en la f\u00f3rmula de y. Aunque tambi\u00e9n obtendr\u00edamos un resultado similar, el proceso puede llevar mucho m\u00e1s tiempo.<\/p>\n<p>Puesto que x = a + 1\/a, tenemos que ax = a\u00b2 + 1, por lo que a\u00b2 \u2013 ax + 1 = 0. Por lo tanto, a = (x \u00b1 ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/2, usando la f\u00f3rmula de la ecuaci\u00f3n de segundo grado.<\/p>\n<p>Para poder calcular a\u00b3, podemos previamente calcular a\u00b2. De esta forma, a\u00b2 = (x\u00b2 \u00b1 2x\u00b7ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4) + x\u00b2 \u2013 4)\/4 = (x\u00b2 \u00b1 x\u00b7ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4) \u2013 2)\/2.<\/p>\n<p>Ahora, para el c\u00e1lculo de a\u00b3, podemos multiplicar a\u00b2 por a (o aplicar la f\u00f3rmula para el cubo de una suma), obteniendo que a\u00b3 = (x\u00b3 \u00b1 x\u00b2\u00b7ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4) \u2013 2x \u00b1 x\u00b2\u00b7ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4) + x(x\u00b2 \u2013 4) \u2213 2ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/4 = (2x\u00b3 \u2013 6x \u00b1 2x\u00b2\u00b7ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4) \u2213 2ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/4 = (x\u00b3 \u2013 3x \u00b1 x\u00b2\u00b7ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4) \u2213 ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/2.<\/p>\n<p>En esta expresi\u00f3n se puede sacar factor com\u00fan la ra\u00edz, de forma que quedar\u00eda a\u00b3 = (x\u00b3 \u2013 3x \u00b1 (x\u00b2 \u2013 1)ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/2.<\/p>\n<p>Ahora, 1\/a\u00b3 es la inversa, es decir, 2\/(x\u00b3 \u2013 3x \u00b1 (x\u00b2 \u2013 1)ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4)), pero para poder sumarlo deberemos racionalizarlo, obteniendo 2(x\u00b3 \u2013 3x \u2213 (x\u00b2 \u2013 1)ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/((x\u2076 \u2013 6x\u2074 + 9x\u00b2) \u2013 (x\u2074 \u2013 2x\u00b2 + 1)(x\u00b2 \u2013 4)) = 2(x\u00b3 \u2013 3x \u2213 (x\u00b2 \u2013 1)ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/((x\u2076 \u2013 6x\u2074 + 9x\u00b2) \u2013 (x\u2076 \u2013 4x\u2074 \u2013 2x\u2074 + 8x\u00b2 +x\u00b2 \u2013 4)) = 2(x\u00b3 \u2013 3x \u2213 (x\u00b2 \u2013 1)ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/4 = (x\u00b3 \u2013 3x \u2213 (x\u00b2 \u2013 1)ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/2.<\/p>\n<p>Cuando sumamos las dos expresiones, resulta que los factores que llevan ra\u00edz tienen signos contrarios, por lo que se anulan, y queda por tanto que y = a\u00b3 + 1\/a\u00b3 = (x\u00b3 \u2013 3x \u00b1 (x\u00b2 \u2013 1)ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/2 + (x\u00b3 \u2013 3x \u2213 (x\u00b2 \u2013 1)ra\u00edz(x\u00b2 \u2013 4))\/2 = 2(x\u00b3 \u2013 3x)\/2 = x\u00b3 \u2013 3x.<\/p>\n<p>Como vemos, es un camino mucho m\u00e1s largo y confuso.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 11 del concurso marat\u00f3 de problemes 2020 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os Tenemos tres n\u00fameros relacionados, a, x e y, de forma que x = a + 1\/a, y tambi\u00e9n y = a\u00b3 + 1\/a\u00b3. \u00bfPuedes escribir una f\u00f3rmula que permita expresar y en funci\u00f3n de x? 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