{"id":1715,"date":"2020-08-01T06:05:41","date_gmt":"2020-08-01T06:05:41","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1715"},"modified":"2020-08-06T13:01:24","modified_gmt":"2020-08-06T13:01:24","slug":"solucion-a-polinomios-almerienses","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/08\/01\/solucion-a-polinomios-almerienses\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a polinomios almerienses"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2020)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Decimos que un polinomio p(x) , con coeficientes reales, es almeriense si tiene la forma p(x) = x\u00b3 + ax\u00b2 + bx + a, y sus tres ra\u00edces son n\u00fameros reales positivos en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica.<\/p>\n<p>Halla todos los polinomios almerienses tales que p(7\/4) = 0.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1711\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/07\/154.Polinomiosalmerienses.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/07\/154.Polinomiosalmerienses.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/07\/154.Polinomiosalmerienses-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nPongamos primero juntos nuestros objetivos y las definiciones y conceptos que vamos a utilizar.<\/p>\n<p>Los polinomios almerienses tienen las tres ra\u00edces reales positivas en progresi\u00f3n aritm\u00e9tica, lo que implica que, para ciertos valores s y t, siendo t menor que s, esas ra\u00edces ser\u00e1n s \u2013 t, s y s + t, y podremos factorizar el polinomio de la forma p(x) = (x \u2013 s \u2013 t)(x \u2013 s)(x \u2013 s + t).<\/p>\n<p>Por otra parte, p(7\/4) = 0, por lo que una de las tres ra\u00edces es, precisamente, 7\/4.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, los coeficientes de los t\u00e9rminos de segundo y primer grado, y el t\u00e9rmino independiente son, respectivamente, a, b y a, es decir, que el t\u00e9rmino independiente es id\u00e9ntico al coeficiente de segundo grado.<\/p>\n<p>Aplicando las f\u00f3rmulas de Cardano-Vieta (o desarrollando el producto que hemos planteado anteriormente), tenemos que a = &#8211; s + t \u2013 s + s \u2013 t = -3s, pero por otra parte a = -s(s \u2013 t)(s + t) = -s(s\u00b2 \u2013 t\u00b2). Puesto que s debe ser positivo, debe darse que 3 = s\u00b2 \u2013 t\u00b2.<\/p>\n<p>Veamos qu\u00e9 sucede en cada uno de los casos, seg\u00fan el valor de los tres que sea 7\/4.<\/p>\n<p>Si 7\/4 = s \u2013 t, tenemos que 3 = 7\/4 (s + t), por lo que el otro valor es s + t = 12\/7, que es ligeramente menor que s \u2013 t, cosa que no deber\u00eda ocurrir.<\/p>\n<p>Si 7\/4 = s + t, razonando de manera an\u00e1loga, tenemos que s \u2013 t = 12\/7, por lo que es f\u00e1cil determinar el valor de s, que ser\u00e1 la media aritm\u00e9tica, (7\/4 + 12\/7)\/2 = 97\/56. El polinomio, por tanto, ser\u00e1 x\u00b3 \u2013 291\/56 x\u00b2 + 14113\/1568 x \u2013 291\/56.<\/p>\n<p>Por \u00faltimo, si s = 7\/4, tenemos que 3 = s\u00b2 \u2013 t\u00b2 = 49\/16 \u2013 t\u00b2, por lo que t\u00b2 = 1\/16, y como t es positivo, tenemos que t = 1\/4. As\u00ed que las ra\u00edces ser\u00e1n 6\/4, 7\/4 y 8\/4, y el polinomio ser\u00e1 x\u00b3 \u2013 21\/4 x\u00b2 + 73\/8 x \u2013 21\/4.<\/p>\n<p>Por lo que los dos \u00fanicos polinomios almerienses que cumplen la condici\u00f3n pedida ser\u00e1n x\u00b3 \u2013 291\/56 x\u00b2 + 14113\/1568 x \u2013 291\/56 y x\u00b3 \u2013 21\/4 x\u00b2 + 73\/8 x \u2013 21\/4.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2020) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Decimos que un polinomio p(x) , con coeficientes reales, es almeriense si tiene la forma p(x) = x\u00b3 + ax\u00b2 + bx + a, y sus tres ra\u00edces son n\u00fameros reales positivos en progresi\u00f3n [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1715","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1715","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1715"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1715\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1723,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1715\/revisions\/1723"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1715"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1715"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1715"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}