{"id":172,"date":"2017-09-29T20:54:23","date_gmt":"2017-09-29T20:54:23","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=172"},"modified":"2017-10-07T07:16:06","modified_gmt":"2017-10-07T07:16:06","slug":"dos-piramides-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/09\/29\/dos-piramides-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a dos pir\u00e1mides"},"content":{"rendered":"
Problema propuesto en la prueba PSAT de la Universidad de Princeton, en 1981\r\nSe dirige a una edad de: 16\/17<\/pre>\n
Disponemos de dos pir\u00e1mides, cuyas caras laterales son todas tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros. Una es de base cuadrada y la otra, de base triangular.
\n\u00bfCu\u00e1ntas caras tiene el s\u00f3lido que formamos si las unimos por una de las caras laterales?<\/p>\n
Este problema tiene detr\u00e1s una curiosa historia, de la que hablaremos cuando pongamos la soluci\u00f3n.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n

\nParece un problema muy sencillo, pero es enga\u00f1osamente f\u00e1cil.<\/p>\n
La pir\u00e1mide de base cuadrada tiene cinco caras: la base, que es un cuadrado, y las cuatro caras laterales (tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros).<\/p>\n
La pir\u00e1mide de base triangular (tetraedro regular) tiene cuatro caras en total (todas tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros).<\/p>\n
Podemos pensar que si unimos ambas figuras por una cara, las caras que hemos usado para unirlas ya no podemos contarlas, de forma que tendr\u00edamos un total de 5 + 4 \u2013 2 = 7 caras.<\/p>\n
Sin embargo, en este caso no es as\u00ed.<\/p>\n
Antes de acabar la cuenta, es preciso comprobar si alguna de las caras que rodea a la cara de uni\u00f3n est\u00e1 en el mismo plano que las caras que rodean a las de la otra figura, y esto no es ni mucho menos evidente.<\/p>\n
Es decir, que si dos caras de las que rodean a la zona de uni\u00f3n est\u00e1n en el mismo plano, en realidad ambas caras pasan a ser una \u00fanica cara. Y en la figura que nos ocupa, eso sucede con dos pares de caras, que originalmente eran tri\u00e1ngulos, y pasan a ser cuadril\u00e1teros por estar en el mismo plano. La figura que logramos es algo extra\u00f1a, ya que tiene entonces 5 caras (7 \u2013 2), de las cuales tendremos un cuadrado, dos cuadril\u00e1teros que son rombos de \u00e1ngulo menor 60 grados, y dos tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Puesto que en la competici\u00f3n se ped\u00eda s\u00f3lo la respuesta y no el razonamiento, pod\u00edas decir 5, o decir 7, y al parecer en un principio el jurado consider\u00f3 que la respuesta v\u00e1lida era 7. Sin embargo, la reclamaci\u00f3n de un participante tuvo que ser tenida en consideraci\u00f3n, y cambiaron la respuesta v\u00e1lida a 5, que era la correcta.<\/p>\n
La pregunta formaba parte de la prueba preliminar del test de aptitud escolar (PSAT) relacionado con la Universidad de Princeton, que decide la inclusi\u00f3n de los participantes en un programa de becas, y la reclamaci\u00f3n del concursante oblig\u00f3 a cambiar la puntuaci\u00f3n de los 250000 participantes, puesto que la puntuaci\u00f3n de cada apartado depende de su dificultad, es decir, de cu\u00e1nta gente la haya respondido correctamente.<\/p>\n
El estudiante Daniel Lowen pens\u00f3 que se trataba de un error en la calificaci\u00f3n, no de que la pregunta estuviese incorrectamente valorada por el jurado.<\/p>\n
Y dejamos para el final la parte m\u00e1s dif\u00edcil. \u00bfC\u00f3mo podemos estar completamente seguros de que est\u00e1n en el mismo plano, y no se trata s\u00f3lo de una apariencia, de un efecto \u00f3ptico?<\/p>\n
Hay dos formas. Por un lado, podemos tratar de estudiar los \u00e1ngulos que forman las dos caras, utilizando segmentos perpendiculares a las aristas.<\/p>\n
Por otro lado, podemos utilizar vectores, construyendo el vector perpendicular a ambas caras, para estar seguro de que son paralelos. Pero para hacer eso se utilizan t\u00e9cnicas que se estudian en segundo de bachillerato, como es el producto vectorial para levantar perpendiculares.<\/p>\n
Con el primero de los m\u00e9todos, hay que levantar perpendiculares a una arista por la cara de contacto y la otra. Dada la simetr\u00eda del dibujo, optaremos por levantarlas en el punto central, por lo que medir\u00e1n lo que miden las alturas de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero. Al unirlas por el otro extremo, la cosa cambia si se hace en una de las figuras o en la otra. En el tetraedro, se cierran con un segmento que mide lo que el lado, mientras que la pir\u00e1mide cuadrada se cierra con una diagonal del cuadrado de la base.<\/p>\n
Si nos fijamos en las medidas, suponiendo que tomamos de unidad la longitud de cualquiera de las aristas, en el caso del tetraedro, las dos alturas miden ra\u00edz de 3 partido por dos, mientras que el otro segmento mide uno. En la pir\u00e1mide cuadrada, las dos alturas miden ra\u00edz de 3 partido por dos, mientras que el otro segmento mide ra\u00edz de 2, es mucho m\u00e1s largo.\"\"<\/p>\n
Ahora, para comprobar que realmente esos dos \u00e1ngulos suman 180 grados, vamos a imaginar que unimos esos dos tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles por uno de los lados comunes (como realmente pasa en la figura tridimensional). Observa que las perpendiculares sobre el lado desigual miden exactamente la mitad que el otro lado desigual. Efectivamente, en uno de ellos, aplicando Pit\u00e1goras, tenemos que 3\/4 \u2013 1\/2 = 1\/4, por lo que la altura mide 1\/2. En el otro, de nuevo con Pit\u00e1goras, 3\/4 \u2013 1\/4 = 1\/2, con lo que la altura mide la mitad de la ra\u00edz de 2.<\/p>\n
Eso quiere decir que las dos alturas forman un \u00e1ngulo recto, es decir, que en efecto los dos \u00e1ngulos de las caras suman 180 grados, es decir, que la figura tiene s\u00f3lo cinco caras.<\/p>\n
Queremos dar las gracias a nuestro amigo el profesor Juan Manuel Conde Calero, quien nos relat\u00f3 la an\u00e9cdota y nos dio a conocer este curioso problema.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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