{"id":1724,"date":"2020-08-08T06:49:43","date_gmt":"2020-08-08T06:49:43","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1724"},"modified":"2020-08-08T06:49:43","modified_gmt":"2020-08-08T06:49:43","slug":"solucion-a-dos-reuniones-dos-problemas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/08\/08\/solucion-a-dos-reuniones-dos-problemas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a dos reuniones, dos problemas"},"content":{"rendered":"
Problema 14 del concurso marat\u00f3 de problemes 2020\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
En una reuni\u00f3n hay m\u00e1s hombres que mujeres, m\u00e1s mujeres sentadas que hombres que miran el m\u00f3vil, y m\u00e1s mujeres que est\u00e1n de pie y miran el m\u00f3vil que hombres que est\u00e1n de pie y no miran el m\u00f3vil.<\/p>\n
Demuestra que hay menos mujeres que est\u00e1n de pie y no miran el m\u00f3vil que hombres sentados que no miran el m\u00f3vil.<\/p>\n
En otra reuni\u00f3n hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes.<\/p>\n
Se cumple que, en cada grupo de 6 personas, al menos dos tienen la misma edad.<\/p>\n
Demuestra que al menos hay 5 personas de la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nVeamos c\u00f3mo organizar la informaci\u00f3n de la primera reuni\u00f3n.<\/p>\n
Supongamos que llamamos H al n\u00famero de hombres y M al n\u00famero de mujeres.<\/p>\n
La informaci\u00f3n que tenemos que es que H > M.<\/p>\n
Ahora, como tenemos que separar en personas sentadas y de pie, tenemos que H = HS + HP, y M = MS + MP, por lo que tenemos que HS + HP > MS + MP.<\/p>\n
Como tambi\u00e9n nos dicen que hay que dicen que hay que diferenciar entre los que miran el m\u00f3vil (T) y no lo miran (N), tenemos 8 grupos de personas, HST, HSN, HPT, HPN, MST, MSN, MPT, y MPN.<\/p>\n
Es decir, que HST + HSN + HPT + HPN > MST + MSN + MPT + MPN.<\/p>\n
La segunda informaci\u00f3n, nos dice que MST + MSN > HST + HPT.<\/p>\n
Y la tercera informaci\u00f3n que nos proporcionan, nos dice que MPT > HPN.<\/p>\n
Vamos a tratar de deducir MPN < HSN.<\/p>\n
En cada paso, he marcado en color rojo aquellos grupos a los que aplicamos un cambio, seg\u00fan las propiedades que conocemos o si sumamos y restamos la misma cantidad.<\/p>\n
MPN = MST + MSN + MPT + MPN<\/span> \u2013 MST \u2013 MSN \u2013 MPT < HST<\/span> + HSN + HPT<\/span> + HPN \u2013 MST \u2013 MSN \u2013 MPT < MST + MSN<\/span> + HSN + HPN \u2013 MST<\/span> \u2013 MSN<\/span> \u2013 MPT = HSN + HPN<\/span> \u2013 MPT < HSN + MPT<\/span> \u2013 MPT<\/span> = HSN.<\/p>\n
Luego, en efecto, hay m\u00e1s mujeres de pie que no miran el m\u00f3vil que hombres sentados que no miran el m\u00f3vil.<\/p>\n
Para organizar la segunda reuni\u00f3n, vamos a aplicar el principio de Dirichlet, o principio del palomar.<\/p>\n
Sabemos que hay 5 nacionalidades diferentes, y dos sexos. Ahora bien, resulta que tambi\u00e9n hay s\u00f3lo 5 grupos de edad, pues en caso de haber 6 edades diferentes, un grupo formado por estas 6 edades har\u00eda imposible que se cumpliera que dos tienen la misma edad.<\/p>\n
Por lo tanto, si clasificamos a todos los presentes por esas tres caracter\u00edsticas, tenemos que hay 5\u00b75\u00b72 = 50 posibles clasificaciones diferentes (los palomares).<\/p>\n
Puesto que hay 201 personas, al repartirlas en esas 50 categor\u00edas, tenemos que debe haber una de las categor\u00edas, al menos, con m\u00e1s de 4 personas (ya que en caso contrario, tendr\u00edamos a lo sumo 200 personas).<\/p>\n
Luego deducimos que hay 5 personas en la misma categor\u00eda, es decir, que tienen la misma nacionalidad, el mismo sexo y la misma edad.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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