{"id":1730,"date":"2020-08-16T11:19:07","date_gmt":"2020-08-16T11:19:07","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1730"},"modified":"2020-08-16T11:19:07","modified_gmt":"2020-08-16T11:19:07","slug":"solucion-a-juego-para-dos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/08\/16\/solucion-a-juego-para-dos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a juego para dos"},"content":{"rendered":"
Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2020)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.<\/p>\n
Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el n\u00famero 0.<\/p>\n
En la ronda k-\u00e9sima, el jugador que no tiene la carta k \u2013 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.<\/p>\n
El n\u00famero de cada carta indica su valor en puntos.<\/p>\n
Al terminar el juego, gana quien tiene m\u00e1s puntos.<\/p>\n
Determina qu\u00e9 jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.\"\"
\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
En estos problemas en los que hay un juego de estrategia, siempre hay que empezar por probar versiones m\u00e1s peque\u00f1as, y explorarlos desde el final hacia atras.<\/p>\n
Por ejemplo, si s\u00f3lo hubiese una carta, est\u00e1 claro que B elegir\u00eda quedarse con la carta 1.<\/p>\n
Si hubiese dos cartas, evidentemente, B elegir\u00eda darle el 1 a A, ya que le volver\u00eda a tocar decidir qui\u00e9n se queda con el 2 y le resultar\u00eda ventajoso qued\u00e1rselo.<\/p>\n
Sin embargo, el juego se complica para el caso en que hay tres cartas sobre la mesa.<\/p>\n
Como 3 = 2 + 1, se iguala el valor de la \u00faltima carta con la suma de las dos.<\/p>\n
El jugador que no tiene el 2, se queda con la carta m\u00e1s valiosa, por lo que a nadie le interesa tener el 2.<\/p>\n
Por lo tanto, si B deber\u00eda toma el 1, A entonces le deber\u00eda dar el 2 y as\u00ed poder empatar. Es decir, los dos empatar\u00edan. Si por el contrario B le da el 1 al A, el A le puede dar el 2 a B y ganarle. Por lo tanto, se dar\u00eda siempre la primera trayectoria.<\/p>\n
De forma similar, si tenemos 4 cartas, de nuevo la \u00faltima resulta decisiva (salvo que saque una ventaja de 4 o mayor), as\u00ed que nadie quiere tener el 3, y por lo tanto se puede dar las siguientes situaciones. Si B se queda con el 1, A se debe quedar con el 2, ya que si le da el 2 acabar\u00e1 renunciando a 3 o a 4 y ganar\u00e1 B, pero entonces B le da el 3 para quedarse con el 4 y empatar. Si, por el contrario, B le da el 1 a A, la situaci\u00f3n es totalmente sim\u00e9trica y ambos acabar\u00e1n empatados.<\/p>\n
Fij\u00e9monos en este punto. Con 4 cartas, ambos tienen una estrategia de empate y ninguno gana salvo que juegue mal.<\/p>\n
Imaginemos que quedan 4 cartas y hay una ventaja de k puntos para A. Las cartas ser\u00edan m, m + 1, m + 2 y m + 3.<\/p>\n
Jugando con la misma l\u00f3gica, puesto que m + m + 3 = m + 1 + m + 2, la diferencia quedar\u00eda igual hiciese lo que hiciese, es decir, que cuando toque jugar la carta 2016 ya estar\u00e1 todo decidido. De la misma forma, cuando toque jugar la carta 2012, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n
De forma que lo mejor que pueden hacer es empatar, ambos tienen la estrategia adecuada para que cada 4 cartas sigan empatados, y c\u00f3mo empiecen las siguientes 4 es indiferente, ya que volver\u00edan a empatar. Si alguno de los dos juega mal y acaba perdiendo una ronda de 4 cartas, el otro puede forzar la situaci\u00f3n para mantener esta diferencia hasta el final.<\/p>\n
Cada 4 cartas, entonces, el que se quede con la carta 4n + 1, renunciar\u00e1 a la 4n + 2, y el poseedor de la 4n + 1 ceder\u00e1 la 4n + 3 al otro jugador para poder tomar la 4n + 4, y as\u00ed sumar ambos 8n + 5 y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n
Por ser 2020 m\u00faltiplo de 4, ambos tendr\u00e1n esa estrategia para empatar como mejor opci\u00f3n. Habr\u00eda sido diferente si el n\u00famero no hubiese sido m\u00faltiplo de 4, tal vez habr\u00eda sido m\u00e1s interesante, ya que una ventaja cuando falte un m\u00faltiplo de 4 ser\u00eda decisiva.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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